Основы алгебры Примеры

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} < \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$

Этап 1

Вычтем $\frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16} < 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 4^{2}} < 0$

Этап 2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{x + 1}{x - 4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.3

Чтобы записать $\frac{x - 2}{x + 4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x - 2}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 4) (x + 4)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\frac{x + 1}{x - 4}$ на $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{x - 2}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.4.2

Умножим $\frac{x - 2}{x + 4}$ на $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.4.3

Изменим порядок множителей в $(x - 4) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x + 1) (x + 4) + (x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x + 1) (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Развернем $(x + 1) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x + 4) + 1 (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.7.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.7.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.7.2.1.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.7.2.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.7.2.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + x + 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.7.2.2

Добавим $4 x$ и $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.7.3

Развернем $(x - 2) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x (x - 4) - 2 (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.7.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.7.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.7.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.7.4.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 4 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.7.4.1.3

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 4 x - 2 x + 8 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.7.4.2

Вычтем $2 x$ из $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 - (- 2 x^{2}) - x - 1 \cdot 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.7.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.6.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 1 \cdot 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.7.6.2

Умножим $- 1$ на $32$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.8

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 4 - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.9

Добавим $2 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x + 4 - 6 x + 8 - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.10

Вычтем $6 x$ из $5 x$ .

$\frac{4 x^{2} - x + 4 + 8 - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.11

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 4 + 8 - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.12

Добавим $4$ и $8$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 12 - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.13

Вычтем $32$ из $12$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2} - 2 x - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) - 2 x - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.14.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- x) - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.14.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 20$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.14.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{2}) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.14.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 10)$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.14.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 10 = - 20$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.2.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - (x) - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.14.2.1.2

Запишем $- 1$ как $4$ плюс $- 5$

$\frac{2 (2 x^{2} + (4 - 5) x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.14.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (2 x^{2} + 4 x - 5 x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.14.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{2 ((2 x^{2} + 4 x) - 5 x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.14.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{2 (2 x (x + 2) - 5 (x + 2))}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 2.14.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 2$ .

$\frac{2 ((x + 2) (2 x - 5))}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

$\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 4

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 5

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 5$

Этап 6

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Этап 7

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 8

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 9

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 2$

$x = \frac{5}{2}$

$x = - 4$

$x = 4$

Этап 10

Объединим решения.

$x = - 2, \frac{5}{2}, - 4, 4$

Этап 11

Найдем область определения $\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x + 4) (x - 4) = 0$

Этап 11.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 11.2.2

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 11.2.3

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 11.2.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 11.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 4) (x - 4) = 0$ верно.

$x = - 4, 4$

Этап 11.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 12

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < 4$

$x > 4$

Этап 13

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 13.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 6) + 1}{(- 6) - 4} + \frac{(- 6) - 2}{(- 6) + 4} < \frac{- 2 {(- 6)}^{2} - 6 + 32}{{(- 6)}^{2} - 16}$

Этап 13.1.3

Левая часть $4.5$ не меньше правой части $- 2.3$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 13.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 13.2.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 3) + 1}{(- 3) - 4} + \frac{(- 3) - 2}{(- 3) + 4} < \frac{- 2 {(- 3)}^{2} - 3 + 32}{{(- 3)}^{2} - 16}$

Этап 13.2.3

Левая часть $- 4.\overline{714285}$ меньше правой части $- 1.\overline{571428}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 13.3

Проверим значение на интервале $- 2 < x < \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 13.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) + 1}{(0) - 4} + \frac{(0) - 2}{(0) + 4} < \frac{- 2 {(0)}^{2} + 0 + 32}{{(0)}^{2} - 16}$

Этап 13.3.3

Левая часть $- 0.75$ не меньше правой части $- 2$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 13.4

Проверим значение на интервале $\frac{5}{2} < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Выберем значение на интервале $\frac{5}{2} < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 13.4.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{(3) + 1}{(3) - 4} + \frac{(3) - 2}{(3) + 4} < \frac{- 2 {(3)}^{2} + 3 + 32}{{(3)}^{2} - 16}$

Этап 13.4.3

Левая часть $- 3.\overline{857142}$ меньше правой части $- 2.\overline{428571}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 13.5

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 13.5.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{(6) + 1}{(6) - 4} + \frac{(6) - 2}{(6) + 4} < \frac{- 2 {(6)}^{2} + 6 + 32}{{(6)}^{2} - 16}$

Этап 13.5.3

Левая часть $3.9$ не меньше правой части $- 1.7$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 13.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < - 2$ Истина

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ Ложь

$\frac{5}{2} < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < - 2$ Истина

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ Ложь

$\frac{5}{2} < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 14

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 4 < x < - 2$ или $\frac{5}{2} < x < 4$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 4 < x < - 2 or \frac{5}{2} < x < 4$

Интервальное представление:

$(- 4, - 2) \cup (\frac{5}{2}, 4)$

Этап 16