Основы алгебры Примеры

Add: $\frac{x}{x^{2} + 7 x + 12} + \frac{4}{x^{2} - 16}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $x^{2} + 7 x + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $7$ .

$3, 4$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{x^{2} - 16}$

Этап 1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{x^{2} - 4^{2}}$

Этап 1.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{x}{(x + 3) (x + 4)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 3) (x + 4) (x - 4)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{x}{(x + 3) (x + 4)}$ на $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$ на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4 (x + 3)}{(x + 4) (x - 4) (x + 3)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(x + 4) (x - 4) (x + 3)$ .

$\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (x - 4) + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Этап 6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 4 + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Этап 6.3

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 \cdot x + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 x + 4 \cdot 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Этап 6.5

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 x + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Этап 6.6

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$\frac{x^{2} + 0 + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Этап 6.7

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$\frac{x^{2} + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$