Основы алгебры Примеры

$\frac{3}{x^{2} + 2 x - 15} - \frac{4}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $x^{2} + 2 x - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $2$ .

$- 3, 5$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} - \frac{4}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} - \frac{4}{x^{2} + 10 x + 5^{2}}$

Этап 1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 1.2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} - \frac{4}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Этап 1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{3}{(x - 3) (x + 5)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{4}{{(x + 5)}^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 3) {(x + 5)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{3}{(x - 3) (x + 5)}$ на $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) (x + 5) (x + 5)} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Этап 4.2

Возведем $x + 5$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) ({(x + 5)}^{1} (x + 5))} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Этап 4.3

Возведем $x + 5$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) ({(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1})} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Этап 4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) {(x + 5)}^{1 + 1}} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Этап 4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) {(x + 5)}^{2}} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Этап 4.6

Умножим $\frac{4}{{(x + 5)}^{2}}$ на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) {(x + 5)}^{2}} - \frac{4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Этап 4.7

Изменим порядок множителей в $(x - 3) {(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{3 (x + 5)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)} - \frac{4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 (x + 5) - 4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x + 3 \cdot 5 - 4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Этап 6.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{3 x + 15 - 4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x + 15 - 4 x - 4 \cdot - 3}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Этап 6.4

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$\frac{3 x + 15 - 4 x + 12}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Этап 6.5

Вычтем $4 x$ из $3 x$ .

$\frac{- x + 15 + 12}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Этап 6.6

Добавим $15$ и $12$ .

$\frac{- x + 27}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Этап 7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) + 27}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Этап 7.2

Перепишем $27$ в виде $- 1 (- 27)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 27)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 27)$ .

$\frac{- (x - 27)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Этап 7.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перепишем $- (x - 27)$ в виде $- 1 (x - 27)$ .

$\frac{- 1 (x - 27)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Этап 7.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x - 27}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$