Основы алгебры Примеры

$\frac{16}{b + 2} = 1 + \frac{2}{b - 4}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$b + 2, 1, b - 4$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $b + 2$ является само значение $b + 2$ .

$(b + 2) = b + 2$

$(b + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $b - 4$ является само значение $b - 4$ .

$(b - 4) = b - 4$

$(b - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $b + 2, b - 4$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(b + 2) (b - 4)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{16}{b + 2} = 1 + \frac{2}{b - 4}$ умножим на $(b + 2) (b - 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{16}{b + 2} = 1 + \frac{2}{b - 4}$ на $(b + 2) (b - 4)$ .

$\frac{16}{b + 2} ((b + 2) (b - 4)) = 1 ((b + 2) (b - 4)) + \frac{2}{b - 4} ((b + 2) (b - 4))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $b + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16}{b + 2} ((b + 2) (b - 4)) = 1 ((b + 2) (b - 4)) + \frac{2}{b - 4} ((b + 2) (b - 4))$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$16 (b - 4) = 1 ((b + 2) (b - 4)) + \frac{2}{b - 4} ((b + 2) (b - 4))$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$16 b + 16 \cdot - 4 = 1 ((b + 2) (b - 4)) + \frac{2}{b - 4} ((b + 2) (b - 4))$

Этап 2.2.3

Умножим $16$ на $- 4$ .

$16 b - 64 = 1 ((b + 2) (b - 4)) + \frac{2}{b - 4} ((b + 2) (b - 4))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $(b + 2) (b - 4)$ на $1$ .

$16 b - 64 = (b + 2) (b - 4) + \frac{2}{b - 4} ((b + 2) (b - 4))$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(b + 2) (b - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$16 b - 64 = b (b - 4) + 2 (b - 4) + \frac{2}{b - 4} ((b + 2) (b - 4))$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$16 b - 64 = b \cdot b + b \cdot - 4 + 2 (b - 4) + \frac{2}{b - 4} ((b + 2) (b - 4))$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16 b - 64 = b \cdot b + b \cdot - 4 + 2 b + 2 \cdot - 4 + \frac{2}{b - 4} ((b + 2) (b - 4))$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $b$ на $b$ .

$16 b - 64 = b^{2} + b \cdot - 4 + 2 b + 2 \cdot - 4 + \frac{2}{b - 4} ((b + 2) (b - 4))$

Этап 2.3.1.3.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $b$ .

$16 b - 64 = b^{2} - 4 \cdot b + 2 b + 2 \cdot - 4 + \frac{2}{b - 4} ((b + 2) (b - 4))$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$16 b - 64 = b^{2} - 4 b + 2 b - 8 + \frac{2}{b - 4} ((b + 2) (b - 4))$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $- 4 b$ и $2 b$ .

$16 b - 64 = b^{2} - 2 b - 8 + \frac{2}{b - 4} ((b + 2) (b - 4))$

Этап 2.3.1.4

Сократим общий множитель $b - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Вынесем множитель $b - 4$ из $(b + 2) (b - 4)$ .

$16 b - 64 = b^{2} - 2 b - 8 + \frac{2}{b - 4} ((b - 4) (b + 2))$

Этап 2.3.1.4.2

Сократим общий множитель.

$16 b - 64 = b^{2} - 2 b - 8 + \frac{2}{b - 4} ((b - 4) (b + 2))$

Этап 2.3.1.4.3

Перепишем это выражение.

$16 b - 64 = b^{2} - 2 b - 8 + 2 (b + 2)$

Этап 2.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$16 b - 64 = b^{2} - 2 b - 8 + 2 b + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$16 b - 64 = b^{2} - 2 b - 8 + 2 b + 4$

Этап 2.3.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим противоположные члены в $b^{2} - 2 b - 8 + 2 b + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Добавим $- 2 b$ и $2 b$ .

$16 b - 64 = b^{2} + 0 - 8 + 4$

Этап 2.3.2.1.2

Добавим $b^{2}$ и $0$ .

$16 b - 64 = b^{2} - 8 + 4$

Этап 2.3.2.2

Добавим $- 8$ и $4$ .

$16 b - 64 = b^{2} - 4$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $b^{2}$ из обеих частей уравнения.

$16 b - 64 - b^{2} = - 4$

Этап 3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$16 b - 64 - b^{2} + 4 = 0$

Этап 3.3

Добавим $- 64$ и $4$ .

$16 b - b^{2} - 60 = 0$

Этап 3.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $16 b - b^{2} - 60$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Изменим порядок $16 b$ и $- b^{2}$ .

$- b^{2} + 16 b - 60 = 0$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- b^{2}$ .

$- (b^{2}) + 16 b - 60 = 0$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $16 b$ .

$- (b^{2}) - (- 16 b) - 60 = 0$

Этап 3.4.1.4

Перепишем $- 60$ в виде $- 1 (60)$ .

$- (b^{2}) - (- 16 b) - 1 \cdot 60 = 0$

Этап 3.4.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (b^{2}) - (- 16 b)$ .

$- (b^{2} - 16 b) - 1 \cdot 60 = 0$

Этап 3.4.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (b^{2} - 16 b) - 1 (60)$ .

$- (b^{2} - 16 b + 60) = 0$

Этап 3.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разложим $b^{2} - 16 b + 60$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $60$ , а сумма — $- 16$ .

$- 10, - 6$

Этап 3.4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((b - 10) (b - 6)) = 0$

Этап 3.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (b - 10) (b - 6) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$b - 10 = 0$

$b - 6 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $b - 10$ к $0$ , затем решим относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $b - 10$ к $0$ .

$b - 10 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$b = 10$

Этап 3.7

Приравняем $b - 6$ к $0$ , затем решим относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $b - 6$ к $0$ .

$b - 6 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$b = 6$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (b - 10) (b - 6) = 0$ верно.

$b = 10, 6$