Основы алгебры Примеры

$\frac{8 x}{x + 2} - 8 = \frac{x - 14}{x - 2}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 2, 1, x - 2$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $x + 2, x - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 2) (x - 2)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{8 x}{x + 2} - 8 = \frac{x - 14}{x - 2}$ умножим на $(x + 2) (x - 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{8 x}{x + 2} - 8 = \frac{x - 14}{x - 2}$ на $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{8 x}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) - 8 ((x + 2) (x - 2)) = \frac{x - 14}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) - 8 ((x + 2) (x - 2)) = \frac{x - 14}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$8 x (x - 2) - 8 ((x + 2) (x - 2)) = \frac{x - 14}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x \cdot x + 8 x \cdot - 2 - 8 ((x + 2) (x - 2)) = \frac{x - 14}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 2.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Перенесем $x$ .

$8 (x \cdot x) + 8 x \cdot - 2 - 8 ((x + 2) (x - 2)) = \frac{x - 14}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 2.2.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$8 x^{2} + 8 x \cdot - 2 - 8 ((x + 2) (x - 2)) = \frac{x - 14}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 2.2.1.4

Умножим $- 2$ на $8$ .

$8 x^{2} - 16 x - 8 ((x + 2) (x - 2)) = \frac{x - 14}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 2.2.1.5

Развернем $(x + 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x^{2} - 16 x - 8 (x (x - 2) + 2 (x - 2)) = \frac{x - 14}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 2.2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x^{2} - 16 x - 8 (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = \frac{x - 14}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 2.2.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x^{2} - 16 x - 8 (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = \frac{x - 14}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 2.2.1.6

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 2$ и $2 x$ .

$8 x^{2} - 16 x - 8 (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = \frac{x - 14}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 2.2.1.6.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$8 x^{2} - 16 x - 8 (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = \frac{x - 14}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 2.2.1.6.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$8 x^{2} - 16 x - 8 (x \cdot x + 2 \cdot - 2) = \frac{x - 14}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 2.2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.7.1

Умножим $x$ на $x$ .

$8 x^{2} - 16 x - 8 (x^{2} + 2 \cdot - 2) = \frac{x - 14}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 2.2.1.7.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$8 x^{2} - 16 x - 8 (x^{2} - 4) = \frac{x - 14}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 2.2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x^{2} - 16 x - 8 x^{2} - 8 \cdot - 4 = \frac{x - 14}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 2.2.1.9

Умножим $- 8$ на $- 4$ .

$8 x^{2} - 16 x - 8 x^{2} + 32 = \frac{x - 14}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 2.2.2

Объединим противоположные члены в $8 x^{2} - 16 x - 8 x^{2} + 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $8 x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$- 16 x + 0 + 32 = \frac{x - 14}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 2.2.2.2

Добавим $- 16 x$ и $0$ .

$- 16 x + 32 = \frac{x - 14}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x + 2) (x - 2)$ .

$- 16 x + 32 = \frac{x - 14}{x - 2} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$- 16 x + 32 = \frac{x - 14}{x - 2} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$- 16 x + 32 = (x - 14) (x + 2)$

Этап 2.3.2

Развернем $(x - 14) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 16 x + 32 = x (x + 2) - 14 (x + 2)$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 16 x + 32 = x \cdot x + x \cdot 2 - 14 (x + 2)$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 16 x + 32 = x \cdot x + x \cdot 2 - 14 x - 14 \cdot 2$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- 16 x + 32 = x^{2} + x \cdot 2 - 14 x - 14 \cdot 2$

Этап 2.3.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$- 16 x + 32 = x^{2} + 2 \cdot x - 14 x - 14 \cdot 2$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $- 14$ на $2$ .

$- 16 x + 32 = x^{2} + 2 x - 14 x - 28$

Этап 2.3.3.2

Вычтем $14 x$ из $2 x$ .

$- 16 x + 32 = x^{2} - 12 x - 28$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 12 x - 28 = - 16 x + 32$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $16 x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 12 x - 28 + 16 x = 32$

Этап 3.2.2

Добавим $- 12 x$ и $16 x$ .

$x^{2} + 4 x - 28 = 32$

Этап 3.3

Вычтем $32$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 4 x - 28 - 32 = 0$

Этап 3.4

Вычтем $32$ из $- 28$ .

$x^{2} + 4 x - 60 = 0$

Этап 3.5

Разложим $x^{2} + 4 x - 60$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 60$ , а сумма — $4$ .

$- 6, 10$

Этап 3.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 6) (x + 10) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 10 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 3.8

Приравняем $x + 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $x + 10$ к $0$ .

$x + 10 = 0$

Этап 3.8.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$x = - 10$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 6) (x + 10) = 0$ верно.

$x = 6, - 10$