Основы алгебры Примеры

$\frac{x + 1}{x + 5} = \frac{x^{2} - 27 x}{x^{2} + 3 x - 10} - \frac{x - 5}{x - 2}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 27 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x + 5} = \frac{x \cdot x - 27 x}{x^{2} + 3 x - 10} - \frac{x - 5}{x - 2}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 27 x$ .

$\frac{x + 1}{x + 5} = \frac{x \cdot x + x \cdot - 27}{x^{2} + 3 x - 10} - \frac{x - 5}{x - 2}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 27$ .

$\frac{x + 1}{x + 5} = \frac{x (x - 27)}{x^{2} + 3 x - 10} - \frac{x - 5}{x - 2}$

Этап 1.2

Разложим $x^{2} + 3 x - 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 10$ , а сумма — $3$ .

$- 2, 5$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x + 1}{x + 5} = \frac{x (x - 27)}{(x - 2) (x + 5)} - \frac{x - 5}{x - 2}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 5, (x - 2) (x + 5), x - 2$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x + 5$ является само значение $x + 5$ .

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x + 5$ является само значение $x + 5$ .

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $x + 5, x - 2, x + 5, x - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 5) (x - 2)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{x + 1}{x + 5} = \frac{x (x - 27)}{(x - 2) (x + 5)} - \frac{x - 5}{x - 2}$ умножим на $(x + 5) (x - 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{x + 1}{x + 5} = \frac{x (x - 27)}{(x - 2) (x + 5)} - \frac{x - 5}{x - 2}$ на $(x + 5) (x - 2)$ .

$\frac{x + 1}{x + 5} ((x + 5) (x - 2)) = \frac{x (x - 27)}{(x - 2) (x + 5)} ((x + 5) (x - 2)) - \frac{x - 5}{x - 2} ((x + 5) (x - 2))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 1}{x + 5} ((x + 5) (x - 2)) = \frac{x (x - 27)}{(x - 2) (x + 5)} ((x + 5) (x - 2)) - \frac{x - 5}{x - 2} ((x + 5) (x - 2))$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$(x + 1) (x - 2) = \frac{x (x - 27)}{(x - 2) (x + 5)} ((x + 5) (x - 2)) - \frac{x - 5}{x - 2} ((x + 5) (x - 2))$

Этап 3.2.2

Развернем $(x + 1) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 2) + 1 (x - 2) = \frac{x (x - 27)}{(x - 2) (x + 5)} ((x + 5) (x - 2)) - \frac{x - 5}{x - 2} ((x + 5) (x - 2))$

Этап 3.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (x - 2) = \frac{x (x - 27)}{(x - 2) (x + 5)} ((x + 5) (x - 2)) - \frac{x - 5}{x - 2} ((x + 5) (x - 2))$

Этап 3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 = \frac{x (x - 27)}{(x - 2) (x + 5)} ((x + 5) (x - 2)) - \frac{x - 5}{x - 2} ((x + 5) (x - 2))$

Этап 3.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 = \frac{x (x - 27)}{(x - 2) (x + 5)} ((x + 5) (x - 2)) - \frac{x - 5}{x - 2} ((x + 5) (x - 2))$

Этап 3.2.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$x^{2} - 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 2 = \frac{x (x - 27)}{(x - 2) (x + 5)} ((x + 5) (x - 2)) - \frac{x - 5}{x - 2} ((x + 5) (x - 2))$

Этап 3.2.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} - 2 x + x + 1 \cdot - 2 = \frac{x (x - 27)}{(x - 2) (x + 5)} ((x + 5) (x - 2)) - \frac{x - 5}{x - 2} ((x + 5) (x - 2))$

Этап 3.2.3.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$x^{2} - 2 x + x - 2 = \frac{x (x - 27)}{(x - 2) (x + 5)} ((x + 5) (x - 2)) - \frac{x - 5}{x - 2} ((x + 5) (x - 2))$

Этап 3.2.3.2

Добавим $- 2 x$ и $x$ .

$x^{2} - x - 2 = \frac{x (x - 27)}{(x - 2) (x + 5)} ((x + 5) (x - 2)) - \frac{x - 5}{x - 2} ((x + 5) (x - 2))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $(x + 5) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $(x + 5) (x - 2)$ из $(x - 2) (x + 5)$ .

$x^{2} - x - 2 = \frac{x (x - 27)}{(x + 5) (x - 2) (1)} ((x + 5) (x - 2)) - \frac{x - 5}{x - 2} ((x + 5) (x - 2))$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} - x - 2 = \frac{x (x - 27)}{(x + 5) (x - 2) \cdot 1} ((x + 5) (x - 2)) - \frac{x - 5}{x - 2} ((x + 5) (x - 2))$

Этап 3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - x - 2 = x (x - 27) - \frac{x - 5}{x - 2} ((x + 5) (x - 2))$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - x - 2 = x \cdot x + x \cdot - 27 - \frac{x - 5}{x - 2} ((x + 5) (x - 2))$

Этап 3.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - x - 2 = x^{2} + x \cdot - 27 - \frac{x - 5}{x - 2} ((x + 5) (x - 2))$

Этап 3.3.1.4

Перенесем $- 27$ влево от $x$ .

$x^{2} - x - 2 = x^{2} - 27 \cdot x - \frac{x - 5}{x - 2} ((x + 5) (x - 2))$

Этап 3.3.1.5

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x - 5}{x - 2}$ в числитель.

$x^{2} - x - 2 = x^{2} - 27 x + \frac{- (x - 5)}{x - 2} ((x + 5) (x - 2))$

Этап 3.3.1.5.2

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x + 5) (x - 2)$ .

$x^{2} - x - 2 = x^{2} - 27 x + \frac{- (x - 5)}{x - 2} ((x - 2) (x + 5))$

Этап 3.3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$x^{2} - x - 2 = x^{2} - 27 x + \frac{- (x - 5)}{x - 2} ((x - 2) (x + 5))$

Этап 3.3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$x^{2} - x - 2 = x^{2} - 27 x - (x - 5) (x + 5)$

Этап 3.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - x - 2 = x^{2} - 27 x + (- x - - 5) (x + 5)$

Этап 3.3.1.7

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$x^{2} - x - 2 = x^{2} - 27 x + (- x + 5) (x + 5)$

Этап 3.3.1.8

Развернем $(- x + 5) (x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - x - 2 = x^{2} - 27 x - x (x + 5) + 5 (x + 5)$

Этап 3.3.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - x - 2 = x^{2} - 27 x - x \cdot x - x \cdot 5 + 5 (x + 5)$

Этап 3.3.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - x - 2 = x^{2} - 27 x - x \cdot x - x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5$

Этап 3.3.1.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.9.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.9.1.1.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} - x - 2 = x^{2} - 27 x - (x \cdot x) - x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5$

Этап 3.3.1.9.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - x - 2 = x^{2} - 27 x - x^{2} - x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5$

Этап 3.3.1.9.1.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$x^{2} - x - 2 = x^{2} - 27 x - x^{2} - 5 x + 5 x + 5 \cdot 5$

Этап 3.3.1.9.1.3

Умножим $5$ на $5$ .

$x^{2} - x - 2 = x^{2} - 27 x - x^{2} - 5 x + 5 x + 25$

Этап 3.3.1.9.2

Добавим $- 5 x$ и $5 x$ .

$x^{2} - x - 2 = x^{2} - 27 x - x^{2} + 0 + 25$

Этап 3.3.1.9.3

Добавим $- x^{2}$ и $0$ .

$x^{2} - x - 2 = x^{2} - 27 x - x^{2} + 25$

Этап 3.3.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 27 x - x^{2} + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$x^{2} - x - 2 = - 27 x + 0 + 25$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 27 x$ и $0$ .

$x^{2} - x - 2 = - 27 x + 25$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим $27 x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - x - 2 + 27 x = 25$

Этап 4.1.2

Добавим $- x$ и $27 x$ .

$x^{2} + 26 x - 2 = 25$

Этап 4.2

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 26 x - 2 - 25 = 0$

Этап 4.3

Вычтем $25$ из $- 2$ .

$x^{2} + 26 x - 27 = 0$

Этап 4.4

Разложим $x^{2} + 26 x - 27$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 27$ , а сумма — $26$ .

$- 1, 27$

Этап 4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 1) (x + 27) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 27 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.7

Приравняем $x + 27$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x + 27$ к $0$ .

$x + 27 = 0$

Этап 4.7.2

Вычтем $27$ из обеих частей уравнения.

$x = - 27$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x + 27) = 0$ верно.

$x = 1, - 27$