Основы алгебры Примеры

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{x^{2} - 25} + \frac{x - 1}{x + 5}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{x^{2} - 5^{2}} + \frac{x - 1}{x + 5}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{x - 1}{x + 5}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{x - 1}{x + 5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{x - 1}{x + 5} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{x - 1}{x + 5}$ на $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{(x - 1) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + (x - 1) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(x - 1) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x (x - 5) - 1 (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x \cdot x + x \cdot - 5 - 1 (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x \cdot x + x \cdot - 5 - 1 x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} + x \cdot - 5 - 1 x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 4.2.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 5 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 4.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 5 x - x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 5 x - x + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 4.2.2

Вычтем $x$ из $- 5 x$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 6 x + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 4.3

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 20 - 6 x + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 4.4

Вычтем $6 x$ из $13 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x - 20 + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 4.5

Добавим $- 20$ и $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 4.6

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ , а сумма — $b = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 (x) - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 4.6.1.2

Запишем $7$ как $- 3$ плюс $10$

$\frac{2 x^{2} + (- 3 + 10) x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 4.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 4.6.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 x^{2} - 3 x) + 10 x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 4.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3)}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 4.6.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 3$ .

$\frac{(2 x - 3) (x + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 5

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x - 3) (x + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x - 3}{x - 5}$