Основы алгебры Примеры

$\frac{k + 5}{k + 1} + \frac{8}{k^{2} - 1}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{k + 5}{k + 1} + \frac{8}{k^{2} - 1^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = k$ и $b = 1$ .

$\frac{k + 5}{k + 1} + \frac{8}{(k + 1) (k - 1)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{k + 5}{k + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{k - 1}{k - 1}$ .

$\frac{k + 5}{k + 1} \cdot \frac{k - 1}{k - 1} + \frac{8}{(k + 1) (k - 1)}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{k + 5}{k + 1}$ на $\frac{k - 1}{k - 1}$ .

$\frac{(k + 5) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)} + \frac{8}{(k + 1) (k - 1)}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(k + 5) (k - 1) + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(k + 5) (k - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{k (k - 1) + 5 (k - 1) + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{k \cdot k + k \cdot - 1 + 5 (k - 1) + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{k \cdot k + k \cdot - 1 + 5 k + 5 \cdot - 1 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $k$ на $k$ .

$\frac{k^{2} + k \cdot - 1 + 5 k + 5 \cdot - 1 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Этап 4.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $k$ .

$\frac{k^{2} - 1 \cdot k + 5 k + 5 \cdot - 1 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Этап 4.2.1.3

Перепишем $- 1 k$ в виде $- k$ .

$\frac{k^{2} - k + 5 k + 5 \cdot - 1 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Этап 4.2.1.4

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{k^{2} - k + 5 k - 5 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Этап 4.2.2

Добавим $- k$ и $5 k$ .

$\frac{k^{2} + 4 k - 5 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Этап 4.3

Добавим $- 5$ и $8$ .

$\frac{k^{2} + 4 k + 3}{(k + 1) (k - 1)}$

Этап 4.4

Разложим $k^{2} + 4 k + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $4$ .

$1, 3$

Этап 4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(k + 1) (k + 3)}{(k + 1) (k - 1)}$

Этап 5

Сократим общий множитель $k + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(k + 1) (k + 3)}{(k + 1) (k - 1)}$

Этап 5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{k + 3}{k - 1}$