Основы алгебры Примеры

$\frac{1}{1 + x} + \frac{1 - x}{x}$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{1}{1 + x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{1 + x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1 - x}{x}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{1 - x}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$\frac{1}{1 + x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1 - x}{x} \cdot \frac{1 + x}{1 + x}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 + x) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{1 + x}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{(1 + x) x} + \frac{1 - x}{x} \cdot \frac{1 + x}{1 + x}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1 - x}{x}$ на $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$\frac{x}{(1 + x) x} + \frac{(1 - x) (1 + x)}{x (1 + x)}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $(1 + x) x$ .

$\frac{x}{x (1 + x)} + \frac{(1 - x) (1 + x)}{x (1 + x)}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + (1 - x) (1 + x)}{x (1 + x)}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Развернем $(1 - x) (1 + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 1 (1 + x) - x (1 + x)}{x (1 + x)}$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 1 \cdot 1 + 1 x - x (1 + x)}{x (1 + x)}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 1 \cdot 1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x}{x (1 + x)}$

Этап 5.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{x + 1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x}{x (1 + x)}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x + 1 + x - x \cdot 1 - x \cdot x}{x (1 + x)}$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x + 1 + x - x - x \cdot x}{x (1 + x)}$

Этап 5.2.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x + 1 + x - x - (x \cdot x)}{x (1 + x)}$

Этап 5.2.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x + 1 + x - x - x^{2}}{x (1 + x)}$

Этап 5.2.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{x + 1 + 0 - x^{2}}{x (1 + x)}$

Этап 5.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x + 1 - x^{2}}{x (1 + x)}$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{2} + x + 1}{x (1 + x)}$

Этап 6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + x + 1}{x (1 + x)}$

Этап 6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- x) + 1}{x (1 + x)}$

Этап 6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (x^{2} - x) + 1}{x (1 + x)}$

Этап 6.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} - x) - 1 (- 1)}{x (1 + x)}$

Этап 6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} - x - 1)}{x (1 + x)}$

Этап 6.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Перепишем $- (x^{2} - x - 1)$ в виде $- 1 (x^{2} - x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - x - 1)}{x (1 + x)}$

Этап 6.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2} - x - 1}{x (1 + x)}$