Основы алгебры Примеры

$\frac{8 x}{x^{2} - 49} + \frac{5}{x^{2} - 4 x - 21}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{8 x}{x^{2} - 7^{2}} + \frac{5}{x^{2} - 4 x - 21}$

Этап 1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 7$ .

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} + \frac{5}{x^{2} - 4 x - 21}$

Этап 1.2

Разложим $x^{2} - 4 x - 21$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 21$ , а сумма — $- 4$ .

$- 7, 3$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 7) (x - 7) (x + 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)}$ на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 7) (x - 7) (x + 3)} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$ на $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 7) (x - 7) (x + 3)} + \frac{5 (x + 7)}{(x - 7) (x + 3) (x + 7)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(x + 7) (x - 7) (x + 3)$ .

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)} + \frac{5 (x + 7)}{(x - 7) (x + 3) (x + 7)}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $(x - 7) (x + 3) (x + 7)$ .

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)} + \frac{5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 x (x + 3) + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 x \cdot x + 8 x \cdot 3 + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Этап 6.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 3 + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Этап 6.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 x \cdot 3 + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Этап 6.3

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 5 x + 5 \cdot 7}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Этап 6.5

Умножим $5$ на $7$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 5 x + 35}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Этап 6.6

Добавим $24 x$ и $5 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 29 x + 35}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$