Основы алгебры Примеры

$\frac{4}{3 x^{2} + 15 x} + \frac{7 x}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{2} + 15 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{4}{3 x (x) + 15 x} + \frac{7 x}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $3 x$ из $15 x$ .

$\frac{4}{3 x (x) + 3 x (5)} + \frac{7 x}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (x) + 3 x (5)$ .

$\frac{4}{3 x (x + 5)} + \frac{7 x}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{4}{3 x (x + 5)} + \frac{7 x}{x^{2} + 10 x + 5^{2}}$

Этап 1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 1.2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{4}{3 x (x + 5)} + \frac{7 x}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Этап 1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$\frac{4}{3 x (x + 5)} + \frac{7 x}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{4}{3 x (x + 5)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{4}{3 x (x + 5)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} + \frac{7 x}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{7 x}{{(x + 5)}^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 x}{3 x}$ .

$\frac{4}{3 x (x + 5)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} + \frac{7 x}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{3 x}{3 x}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3 x {(x + 5)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{4}{3 x (x + 5)}$ на $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{4 (x + 5)}{3 x (x + 5) (x + 5)} + \frac{7 x}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{3 x}{3 x}$

Этап 4.2

Возведем $x + 5$ в степень $1$ .

$\frac{4 (x + 5)}{3 x ({(x + 5)}^{1} (x + 5))} + \frac{7 x}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{3 x}{3 x}$

Этап 4.3

Возведем $x + 5$ в степень $1$ .

$\frac{4 (x + 5)}{3 x ({(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1})} + \frac{7 x}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{3 x}{3 x}$

Этап 4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 (x + 5)}{3 x {(x + 5)}^{1 + 1}} + \frac{7 x}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{3 x}{3 x}$

Этап 4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 (x + 5)}{3 x {(x + 5)}^{2}} + \frac{7 x}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{3 x}{3 x}$

Этап 4.6

Умножим $\frac{7 x}{{(x + 5)}^{2}}$ на $\frac{3 x}{3 x}$ .

$\frac{4 (x + 5)}{3 x {(x + 5)}^{2}} + \frac{7 x (3 x)}{{(x + 5)}^{2} (3 x)}$

Этап 4.7

Изменим порядок множителей в ${(x + 5)}^{2} (3 x)$ .

$\frac{4 (x + 5)}{3 x {(x + 5)}^{2}} + \frac{7 x (3 x)}{3 x {(x + 5)}^{2}}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 (x + 5) + 7 x (3 x)}{3 x {(x + 5)}^{2}}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x + 4 \cdot 5 + 7 x (3 x)}{3 x {(x + 5)}^{2}}$

Этап 6.2

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{4 x + 20 + 7 x (3 x)}{3 x {(x + 5)}^{2}}$

Этап 6.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 x + 20 + 7 \cdot 3 x \cdot x}{3 x {(x + 5)}^{2}}$

Этап 6.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x + 20 + 7 \cdot 3 (x \cdot x)}{3 x {(x + 5)}^{2}}$

Этап 6.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 x + 20 + 7 \cdot 3 x^{2}}{3 x {(x + 5)}^{2}}$

Этап 6.5

Умножим $7$ на $3$ .

$\frac{4 x + 20 + 21 x^{2}}{3 x {(x + 5)}^{2}}$

Этап 6.6

Изменим порядок членов.

$\frac{21 x^{2} + 4 x + 20}{3 x {(x + 5)}^{2}}$