Основы алгебры Примеры

$\frac{x - 4}{x^{2} - 2 x} + \frac{4}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x \cdot x - 2 x} + \frac{4}{x^{2} - 4}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$\frac{x - 4}{x \cdot x + x \cdot - 2} + \frac{4}{x^{2} - 4}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} + \frac{4}{x^{2} - 4}$

Этап 1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} + \frac{4}{x^{2} - 2^{2}}$

Этап 1.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} + \frac{4}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{x - 4}{x (x - 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{4}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{4}{(x + 2) (x - 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{4}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (x - 2) (x + 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{x - 4}{x (x - 2)}$ на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x - 2) (x + 2)} + \frac{4}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{4}{(x + 2) (x - 2)}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x - 2) (x + 2)} + \frac{4 x}{(x + 2) (x - 2) x}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $x (x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x + 2) (x - 2)} + \frac{4 x}{(x + 2) (x - 2) x}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $(x + 2) (x - 2) x$ .

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x + 2) (x - 2)} + \frac{4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x - 4) (x + 2) + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(x - 4) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x + 2) - 4 (x + 2) + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 4 (x + 2) + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 4 x - 4 \cdot 2 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 - 4 x - 4 \cdot 2 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.2.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x - 4 x - 4 \cdot 2 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 4 x - 8 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.2.2

Вычтем $4 x$ из $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 8 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.3

Добавим $- 2 x$ и $4 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.4

Разложим $x^{2} + 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $2$ .

$- 2, 4$

Этап 6.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 2) (x + 4)}{x (x + 2) (x - 2)}$

Этап 7

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 2) (x + 4)}{x (x + 2) (x - 2)}$

Этап 7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 4}{x (x + 2)}$