Основы алгебры Примеры

$\frac{7}{x^{2} - 10 x + 16} + \frac{2 x}{x^{2} - 13 x + 40}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $x^{2} - 10 x + 16$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $16$ , а сумма — $- 10$ .

$- 8, - 2$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{7}{(x - 8) (x - 2)} + \frac{2 x}{x^{2} - 13 x + 40}$

Этап 1.2

Разложим $x^{2} - 13 x + 40$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $40$ , а сумма — $- 13$ .

$- 8, - 5$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{7}{(x - 8) (x - 2)} + \frac{2 x}{(x - 8) (x - 5)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{7}{(x - 8) (x - 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{7}{(x - 8) (x - 2)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} + \frac{2 x}{(x - 8) (x - 5)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{2 x}{(x - 8) (x - 5)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{7}{(x - 8) (x - 2)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} + \frac{2 x}{(x - 8) (x - 5)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 8) (x - 2) (x - 5)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{7}{(x - 8) (x - 2)}$ на $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{7 (x - 5)}{(x - 8) (x - 2) (x - 5)} + \frac{2 x}{(x - 8) (x - 5)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{2 x}{(x - 8) (x - 5)}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{7 (x - 5)}{(x - 8) (x - 2) (x - 5)} + \frac{2 x (x - 2)}{(x - 8) (x - 5) (x - 2)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(x - 8) (x - 2) (x - 5)$ .

$\frac{7 (x - 5)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)} + \frac{2 x (x - 2)}{(x - 8) (x - 5) (x - 2)}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $(x - 8) (x - 5) (x - 2)$ .

$\frac{7 (x - 5)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)} + \frac{2 x (x - 2)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7 (x - 5) + 2 x (x - 2)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 x + 7 \cdot - 5 + 2 x (x - 2)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Этап 6.2

Умножим $7$ на $- 5$ .

$\frac{7 x - 35 + 2 x (x - 2)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 x - 35 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Этап 6.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{7 x - 35 + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Этап 6.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{7 x - 35 + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Этап 6.5

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{7 x - 35 + 2 x^{2} - 4 x}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Этап 6.6

Вычтем $4 x$ из $7 x$ .

$\frac{3 x - 35 + 2 x^{2}}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Этап 6.7

Изменим порядок членов.

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 35}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Этап 6.8

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 35 = - 70$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 (x) - 35}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Этап 6.8.1.2

Запишем $3$ как $- 7$ плюс $10$

$\frac{2 x^{2} + (- 7 + 10) x - 35}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Этап 6.8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 10 x - 35}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Этап 6.8.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 x^{2} - 7 x) + 10 x - 35}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Этап 6.8.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (2 x - 7) + 5 (2 x - 7)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

Этап 6.8.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 7$ .

$\frac{(2 x - 7) (x + 5)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$