Основы алгебры Примеры

$\frac{2 x - 1}{2 x^{2} + 5 x + 3} + \frac{2}{3 x + 3}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$\frac{2 x - 1}{2 x^{2} + 5 (x) + 3} + \frac{2}{3 x + 3}$

Этап 1.1.1.2

Запишем $5$ как $2$ плюс $3$

$\frac{2 x - 1}{2 x^{2} + (2 + 3) x + 3} + \frac{2}{3 x + 3}$

Этап 1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x - 1}{2 x^{2} + 2 x + 3 x + 3} + \frac{2}{3 x + 3}$

Этап 1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{2 x - 1}{(2 x^{2} + 2 x) + 3 x + 3} + \frac{2}{3 x + 3}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{2 x - 1}{2 x (x + 1) + 3 (x + 1)} + \frac{2}{3 x + 3}$

Этап 1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 1$ .

$\frac{2 x - 1}{(x + 1) (2 x + 3)} + \frac{2}{3 x + 3}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{2 x - 1}{(x + 1) (2 x + 3)} + \frac{2}{3 (x) + 3}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{2 x - 1}{(x + 1) (2 x + 3)} + \frac{2}{3 (x) + 3 (1)}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x) + 3 (1)$ .

$\frac{2 x - 1}{(x + 1) (2 x + 3)} + \frac{2}{3 (x + 1)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{2 x - 1}{(x + 1) (2 x + 3)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x - 1}{(x + 1) (2 x + 3)} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3 (x + 1)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{2}{3 (x + 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$\frac{2 x - 1}{(x + 1) (2 x + 3)} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3 (x + 1)} \cdot \frac{2 x + 3}{2 x + 3}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 1) (2 x + 3) \cdot 3$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{2 x - 1}{(x + 1) (2 x + 3)}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot 3}{(x + 1) (2 x + 3) \cdot 3} + \frac{2}{3 (x + 1)} \cdot \frac{2 x + 3}{2 x + 3}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{2}{3 (x + 1)}$ на $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot 3}{(x + 1) (2 x + 3) \cdot 3} + \frac{2 (2 x + 3)}{3 (x + 1) (2 x + 3)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(x + 1) (2 x + 3) \cdot 3$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot 3}{3 (2 x + 3) (x + 1)} + \frac{2 (2 x + 3)}{3 (x + 1) (2 x + 3)}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $3 (x + 1) (2 x + 3)$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot 3}{3 (2 x + 3) (x + 1)} + \frac{2 (2 x + 3)}{3 (2 x + 3) (x + 1)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(2 x - 1) \cdot 3 + 2 (2 x + 3)}{3 (2 x + 3) (x + 1)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot 3 - 1 \cdot 3 + 2 (2 x + 3)}{3 (2 x + 3) (x + 1)}$

Этап 6.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 x - 1 \cdot 3 + 2 (2 x + 3)}{3 (2 x + 3) (x + 1)}$

Этап 6.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{6 x - 3 + 2 (2 x + 3)}{3 (2 x + 3) (x + 1)}$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 x - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot 3}{3 (2 x + 3) (x + 1)}$

Этап 6.5

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{6 x - 3 + 4 x + 2 \cdot 3}{3 (2 x + 3) (x + 1)}$

Этап 6.6

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6 x - 3 + 4 x + 6}{3 (2 x + 3) (x + 1)}$

Этап 6.7

Добавим $6 x$ и $4 x$ .

$\frac{10 x - 3 + 6}{3 (2 x + 3) (x + 1)}$

Этап 6.8

Добавим $- 3$ и $6$ .

$\frac{10 x + 3}{3 (2 x + 3) (x + 1)}$