Основы алгебры Примеры

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 4 x - 5}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x \cdot x + 5 x}{x^{2} + 4 x - 5}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $5 x$ .

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x \cdot x + x \cdot 5}{x^{2} + 4 x - 5}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 5$ .

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x (x + 5)}{x^{2} + 4 x - 5}$

Этап 1.2

Разложим $x^{2} + 4 x - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $4$ .

$- 1, 5$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x (x + 5)}{(x - 1) (x + 5)}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x (x + 5)}{(x - 1) (x + 5)}$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x}{x - 1}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{x + 1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{x}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (x - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{x + 1}{x}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)} + \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{x}{x - 1}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)} + \frac{x \cdot x}{(x - 1) x}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(x - 1) x$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)} + \frac{x \cdot x}{x (x - 1)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x + 1) (x - 1) + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1) + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Этап 6.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Этап 6.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Этап 6.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Этап 6.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Этап 6.2.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$\frac{x^{2} - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Этап 6.3

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 + x^{2}}{x (x - 1)}$

Этап 6.4

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x (x - 1)}$