Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} \cos (x) & - \sin (x) \\ \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$

Этап 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Этап 2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\cos (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 2.2.1.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 2.2.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 2.2.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) \sin (x)$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)$

Этап 2.2.1.2.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)$

Этап 2.2.1.2.4

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)$

Этап 2.2.1.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}$

Этап 2.2.1.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$

Этап 2.2.2

Переставляем члены.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Этап 2.2.3

Применим формулу Пифагора.

$1$

Этап 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$

Этап 5

Разделим $1$ на $1$ .

$1 [\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$

Этап 6

Умножим $1$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 1 \cos (x) & 1 \sin (x) \\ 1 (- \sin (x)) & 1 \cos (x) \end{array}]$

Этап 7

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (x) & 1 \sin (x) \\ 1 (- \sin (x)) & 1 \cos (x) \end{array}]$

Этап 7.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ 1 (- \sin (x)) & 1 \cos (x) \end{array}]$

Этап 7.3

Умножим $- \sin (x)$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & 1 \cos (x) \end{array}]$

Этап 7.4

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$