Линейная алгебра Примеры

$x - 10 y = 0$ , $x + 14 y = 12$

Этап 1

Найдем $A X = B$ из системы уравнений.

$[\begin{array}{c} 1 & - 10 \\ 1 & 14 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 12 \end{array}]$

Этап 2

Найдем матрицу, обратную к матрице коэффициентов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Этап 2.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 14 - 1 \cdot - 10$

Этап 2.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $14$ на $1$ .

$14 - 1 \cdot - 10$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$14 + 10$

Этап 2.2.2.2

Добавим $14$ и $10$ .

$24$

Этап 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{24} [\begin{array}{c} 14 & 10 \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Этап 2.5

Умножим $\frac{1}{24}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{24} \cdot 14 & \frac{1}{24} \cdot 10 \\ \frac{1}{24} \cdot - 1 & \frac{1}{24} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 2.6

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (12)} \cdot 14 & \frac{1}{24} \cdot 10 \\ \frac{1}{24} \cdot - 1 & \frac{1}{24} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 2.6.1.2

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 12} \cdot (2 \cdot 7) & \frac{1}{24} \cdot 10 \\ \frac{1}{24} \cdot - 1 & \frac{1}{24} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 2.6.1.3

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 12} \cdot (2 \cdot 7) & \frac{1}{24} \cdot 10 \\ \frac{1}{24} \cdot - 1 & \frac{1}{24} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 2.6.1.4

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{12} \cdot 7 & \frac{1}{24} \cdot 10 \\ \frac{1}{24} \cdot - 1 & \frac{1}{24} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 2.6.2

Объединим $\frac{1}{12}$ и $7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{12} & \frac{1}{24} \cdot 10 \\ \frac{1}{24} \cdot - 1 & \frac{1}{24} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 2.6.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{12} & \frac{1}{2 (12)} \cdot 10 \\ \frac{1}{24} \cdot - 1 & \frac{1}{24} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 2.6.3.2

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{12} & \frac{1}{2 \cdot 12} \cdot (2 \cdot 5) \\ \frac{1}{24} \cdot - 1 & \frac{1}{24} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 2.6.3.3

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{12} & \frac{1}{2 \cdot 12} \cdot (2 \cdot 5) \\ \frac{1}{24} \cdot - 1 & \frac{1}{24} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 2.6.3.4

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{12} & \frac{1}{12} \cdot 5 \\ \frac{1}{24} \cdot - 1 & \frac{1}{24} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 2.6.4

Объединим $\frac{1}{12}$ и $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{12} & \frac{5}{12} \\ \frac{1}{24} \cdot - 1 & \frac{1}{24} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 2.6.5

Объединим $\frac{1}{24}$ и $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{12} & \frac{5}{12} \\ \frac{- 1}{24} & \frac{1}{24} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 2.6.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{12} & \frac{5}{12} \\ - \frac{1}{24} & \frac{1}{24} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 2.6.7

Умножим $\frac{1}{24}$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{12} & \frac{5}{12} \\ - \frac{1}{24} & \frac{1}{24} \end{array}]$

Этап 3

Умножим слева обе части матричного уравнения на обратную матрицу.

$([\begin{array}{c} \frac{7}{12} & \frac{5}{12} \\ - \frac{1}{24} & \frac{1}{24} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & - 10 \\ 1 & 14 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{7}{12} & \frac{5}{12} \\ - \frac{1}{24} & \frac{1}{24} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 0 \\ 12 \end{array}]$

Этап 4

Любая матрица, умноженная на свою обратную, всегда равна $1$ . $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{7}{12} & \frac{5}{12} \\ - \frac{1}{24} & \frac{1}{24} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 0 \\ 12 \end{array}]$

Этап 5

Умножим $[\begin{array}{c} \frac{7}{12} & \frac{5}{12} \\ - \frac{1}{24} & \frac{1}{24} \end{array}] [\begin{array}{c} 0 \\ 12 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Этап 5.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{12} \cdot 0 + \frac{5}{12} \cdot 12 \\ - \frac{1}{24} \cdot 0 + \frac{1}{24} \cdot 12 \end{array}]$

Этап 5.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$[\begin{array}{c} 5 \\ \frac{1}{2} \end{array}]$

Этап 6

Упростим левую и правую части.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ \frac{1}{2} \end{array}]$

Этап 7

Найдем решение.

$x = 5$

$y = \frac{1}{2}$