Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 4 + 0 i \\ 0 + 2 i \\ 1 - 1 i \\ 4 - 3 i \end{array}]$

Этап 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$\sqrt{{| 4 + 0 i |}^{2} + {| 0 + 2 i |}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $0$ на $i$ .

$\sqrt{{| 4 + 0 |}^{2} + {| 0 + 2 i |}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2.2

Добавим $4$ и $0$ .

$\sqrt{{| 4 |}^{2} + {| 0 + 2 i |}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\sqrt{4^{2} + {| 0 + 2 i |}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + {| 0 + 2 i |}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2.5

Добавим $0$ и $2 i$ .

$\sqrt{16 + {| 2 i |}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2.6

Используем формулу $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , чтобы найти абсолютную величину.

$\sqrt{16 + {\sqrt{0^{2} + 2^{2}}}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\sqrt{16 + {\sqrt{0 + 2^{2}}}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + {\sqrt{0 + 4}}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2.9

Добавим $0$ и $4$ .

$\sqrt{16 + {\sqrt{4}}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2.10

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{16 + {\sqrt{2^{2}}}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2.11

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sqrt{16 + 2^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2.12

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + 4 + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2.13

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$\sqrt{16 + 4 + {| 1 - i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2.14

Используем формулу $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , чтобы найти абсолютную величину.

$\sqrt{16 + 4 + {\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}}}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2.15

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{16 + 4 + {\sqrt{1 + {(- 1)}^{2}}}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2.16

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + 4 + {\sqrt{1 + 1}}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2.17

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{16 + 4 + {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2.18

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{16 + 4 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2.18.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{16 + 4 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2.18.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{16 + 4 + 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2.18.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{16 + 4 + 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2.18.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{16 + 4 + 2^{1} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2.18.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{16 + 4 + 2 + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Этап 2.19

Используем формулу $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , чтобы найти абсолютную величину.

$\sqrt{16 + 4 + 2 + {\sqrt{4^{2} + {(- 3)}^{2}}}^{2}}$

Этап 2.20

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + 4 + 2 + {\sqrt{16 + {(- 3)}^{2}}}^{2}}$

Этап 2.21

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + 4 + 2 + {\sqrt{16 + 9}}^{2}}$

Этап 2.22

Добавим $16$ и $9$ .

$\sqrt{16 + 4 + 2 + {\sqrt{25}}^{2}}$

Этап 2.23

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\sqrt{16 + 4 + 2 + {\sqrt{5^{2}}}^{2}}$

Этап 2.24

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sqrt{16 + 4 + 2 + 5^{2}}$

Этап 2.25

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + 4 + 2 + 25}$

Этап 2.26

Добавим $16$ и $4$ .

$\sqrt{20 + 2 + 25}$

Этап 2.27

Добавим $20$ и $2$ .

$\sqrt{22 + 25}$

Этап 2.28

Добавим $22$ и $25$ .

$\sqrt{47}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{47}$

Десятичная форма:

$6.85565460 \dots$