Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{2} a & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Этап 1

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $a^{2}$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Умножим $a^{2}$ на $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Возведем $a$ в степень $1$ .

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{2} a^{1} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Этап 1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{2 + 1} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Этап 1.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Этап 1.2

Умножим каждый элемент $R_{1}$ на $\frac{1}{a}$ , чтобы сделать значение в $1, 1$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим каждый элемент $R_{1}$ на $\frac{1}{a}$ , чтобы сделать значение в $1, 1$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{a}{a} & \frac{a}{a} & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Этап 1.2.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Этап 1.3

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} - a R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} - a R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ a - a \cdot 1 & a^{3} - a \cdot 1 & 1 - a^{2} - a \frac{1 - a}{a} & 1 - a \frac{1}{a} \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Этап 1.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & a^{3} - a & - a^{2} + a & 0 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Этап 1.4

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - 2 a R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $3, 1$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - 2 a R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $3, 1$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & a^{3} - a & - a^{2} + a & 0 \\ 2 a - 2 a \cdot 1 & a + a^{2} - 2 a \cdot 1 & 2 - 2 a - 2 a \frac{1 - a}{a} & a + 2 - 2 a \frac{1}{a} \end{array}]$

Этап 1.4.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & a^{3} - a & - a^{2} + a & 0 \\ 0 & a^{2} - a & 0 & a \end{array}]$

Этап 1.5

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $\frac{1}{a^{3} - a}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $\frac{1}{a^{3} - a}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ \frac{0}{a^{3} - a} & \frac{a^{3} - a}{a^{3} - a} & \frac{- a^{2} + a}{a^{3} - a} & \frac{0}{a^{3} - a} \\ 0 & a^{2} - a & 0 & a \end{array}]$

Этап 1.5.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ 0 & a^{2} - a & 0 & a \end{array}]$

Этап 1.6

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - (a^{2} - a) R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $3, 2$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - (a^{2} - a) R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $3, 2$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ 0 - (a^{2} - a) \cdot 0 & a^{2} - a - (a^{2} - a) \cdot 1 & 0 - (a^{2} - a) (- \frac{1}{a + 1}) & a - (a^{2} - a) \cdot 0 \end{array}]$

Этап 1.6.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{a (a - 1)}{a + 1} & a \end{array}]$

Этап 1.7

Умножим каждый элемент $R_{3}$ на $\frac{a + 1}{a (a - 1)}$ , чтобы сделать значение в $3, 3$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим каждый элемент $R_{3}$ на $\frac{a + 1}{a (a - 1)}$ , чтобы сделать значение в $3, 3$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ \frac{a + 1}{a (a - 1)} \cdot 0 & \frac{a + 1}{a (a - 1)} \cdot 0 & \frac{a + 1}{a (a - 1)} \cdot \frac{a (a - 1)}{a + 1} & \frac{a + 1}{a (a - 1)} a \end{array}]$

Этап 1.7.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Этап 1.8

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} + \frac{1}{a + 1} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $2, 3$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} + \frac{1}{a + 1} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $2, 3$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 + \frac{1}{a + 1} \cdot 0 & 1 + \frac{1}{a + 1} \cdot 0 & - \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{a + 1} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{a + 1} \cdot \frac{a + 1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Этап 1.8.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Этап 1.9

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} - \frac{1 - a}{a} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $1, 3$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} - \frac{1 - a}{a} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $1, 3$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1 - a}{a} \cdot 0 & 1 - \frac{1 - a}{a} \cdot 0 & \frac{1 - a}{a} - \frac{1 - a}{a} \cdot 1 & \frac{1}{a} - \frac{1 - a}{a} \cdot \frac{a + 1}{a - 1} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Этап 1.9.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & \frac{a + 2}{a} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Этап 1.10

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & \frac{a + 2}{a} - \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Этап 1.10.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{a^{2} - 2}{a (a - 1)} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Этап 2

Позиции разрешающего элемента — это позиции, начинающиеся с $1$ в каждой строке. Разрешающие столбцы — это столбцы, содержащие позицию разрешающего элемента.

Разрешающие элементы: $a_{11}, a_{22},$ и $a_{33}$

Разрешающие столбцы: $1, 2,$ и $3$