Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 2 & 3 & 1 \\ 1 & - 2 & 3 \\ 5 & 2 & - 15 \end{array}]$

Этап 1

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 & - 2 & 3 \\ 5 & 2 & - 15 \end{array}]$

Этап 1.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 & - 2 & 3 \\ 5 & 2 & - 15 \end{array}]$

Этап 1.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 - 1 & - 2 - \frac{3}{2} & 3 - \frac{1}{2} \\ 5 & 2 & - 15 \end{array}]$

Этап 1.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & - \frac{7}{2} & \frac{5}{2} \\ 5 & 2 & - 15 \end{array}]$

Этап 1.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & - \frac{7}{2} & \frac{5}{2} \\ 5 - 5 \cdot 1 & 2 - 5 (\frac{3}{2}) & - 15 - 5 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Этап 1.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & - \frac{7}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & - \frac{11}{2} & - \frac{35}{2} \end{array}]$

Этап 1.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ - \frac{2}{7} \cdot 0 & - \frac{2}{7} (- \frac{7}{2}) & - \frac{2}{7} \cdot \frac{5}{2} \\ 0 & - \frac{11}{2} & - \frac{35}{2} \end{array}]$

Этап 1.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{5}{7} \\ 0 & - \frac{11}{2} & - \frac{35}{2} \end{array}]$

Этап 1.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{11}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{11}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{5}{7} \\ 0 + \frac{11}{2} \cdot 0 & - \frac{11}{2} + \frac{11}{2} \cdot 1 & - \frac{35}{2} + \frac{11}{2} (- \frac{5}{7}) \end{array}]$

Этап 1.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{5}{7} \\ 0 & 0 & - \frac{150}{7} \end{array}]$

Этап 1.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{7}{150}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{7}{150}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{5}{7} \\ - \frac{7}{150} \cdot 0 & - \frac{7}{150} \cdot 0 & - \frac{7}{150} (- \frac{150}{7}) \end{array}]$

Этап 1.6.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{5}{7} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{5}{7} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{5}{7} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 + \frac{5}{7} \cdot 0 & 1 + \frac{5}{7} \cdot 0 & - \frac{5}{7} + \frac{5}{7} \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.7.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.8.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{3}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.9.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2

The pivot positions are the locations with the leading $1$ in each row. The pivot columns are the columns that have a pivot position.

Pivot Positions: $a_{11}, a_{22},$ and $a_{33}$

Pivot Columns: $1, 2,$ and $3$