Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & 2 \\ - 1 & 2 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array}]$

Этап 1

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 2 & - 1 \cdot 2 \\ - 1 & 2 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array}]$

Этап 1.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 2 \\ - 1 & 2 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array}]$

Этап 1.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 2 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 - 2 & 0 - 2 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array}]$

Этап 1.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 2 \\ 0 & 0 & - 2 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 2 \\ 0 & 0 & - 2 \\ 1 - 1 & - 1 + 2 & 1 + 2 \end{array}]$

Этап 1.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 2 \\ 0 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Этап 1.4

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

Этап 1.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \end{array}]$

Этап 1.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 2 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.6.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.7.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 0 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.8.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2

The pivot positions are the locations with the leading $1$ in each row. The pivot columns are the columns that have a pivot position.

Pivot Positions: $a_{11}, a_{22},$ and $a_{33}$

Pivot Columns: $1, 2,$ and $3$