Линейная алгебра Примеры

\frac{9}{2} x + \frac{1}{3} y - z = - 145

$\frac{9}{2} x + \frac{1}{3} y - z = - 145$ ,

$3 x - \frac{7}{3} y + \frac{1}{2} z = \frac{49}{3}$ ,

$x + 2 y - z = - 15$

Этап 1

Найдем

$A X = B$ из системы уравнений.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{2} & \frac{1}{3} & - 1 \\ 3 & - \frac{7}{3} & \frac{1}{2} \\ 1 & 2 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 145 \\ \frac{49}{3} \\ - 15 \end{array}]$

Этап 2

Найдем матрицу, обратную к матрице коэффициентов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 2.1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Этап 2.1.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \frac{7}{3} & \frac{1}{2} \\ 2 & - 1 \end{array} |$

Этап 2.1.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$\frac{9}{2} | \begin{array}{c} - \frac{7}{3} & \frac{1}{2} \\ 2 & - 1 \end{array} |$

Этап 2.1.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & \frac{1}{2} \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Этап 2.1.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$- \frac{1}{3} | \begin{array}{c} 3 & \frac{1}{2} \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Этап 2.1.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - \frac{7}{3} \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.1.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & - \frac{7}{3} \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.1.1.9

Add the terms together.

$\frac{9}{2} | \begin{array}{c} - \frac{7}{3} & \frac{1}{2} \\ 2 & - 1 \end{array} | - \frac{1}{3} | \begin{array}{c} 3 & \frac{1}{2} \\ 1 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - \frac{7}{3} \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.1.2

Найдем значение

$| \begin{array}{c} - \frac{7}{3} & \frac{1}{2} \\ 2 & - 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{9}{2} (- \frac{7}{3} \cdot - 1 - 2 (\frac{1}{2})) - \frac{1}{3} | \begin{array}{c} 3 & \frac{1}{2} \\ 1 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - \frac{7}{3} \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.1.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Умножим

$- \frac{7}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$\frac{9}{2} (1 (\frac{7}{3}) - 2 (\frac{1}{2})) - \frac{1}{3} | \begin{array}{c} 3 & \frac{1}{2} \\ 1 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - \frac{7}{3} \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.1.2.2.1.1.2

Умножим

$\frac{7}{3}$ на

$1$ .

$\frac{9}{2} (\frac{7}{3} - 2 (\frac{1}{2})) - \frac{1}{3} | \begin{array}{c} 3 & \frac{1}{2} \\ 1 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - \frac{7}{3} \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.1.2.2.1.2

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$- 2$ .

$\frac{9}{2} (\frac{7}{3} + 2 (- 1) \frac{1}{2}) - \frac{1}{3} | \begin{array}{c} 3 & \frac{1}{2} \\ 1 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - \frac{7}{3} \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.1.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{2} (\frac{7}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}) - \frac{1}{3} | \begin{array}{c} 3 & \frac{1}{2} \\ 1 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - \frac{7}{3} \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.1.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{2} (\frac{7}{3} - 1) - \frac{1}{3} | \begin{array}{c} 3 & \frac{1}{2} \\ 1 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - \frac{7}{3} \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.1.2.2.2

Чтобы записать

$- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}) - \frac{1}{3} | \begin{array}{c} 3 & \frac{1}{2} \\ 1 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - \frac{7}{3} \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.1.2.2.3

Объединим

$- 1$ и

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}) - \frac{1}{3} | \begin{array}{c} 3 & \frac{1}{2} \\ 1 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - \frac{7}{3} \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.1.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9}{2} \cdot \frac{7 - 1 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} | \begin{array}{c} 3 & \frac{1}{2} \\ 1 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - \frac{7}{3} \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.1.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.5.1

Умножим

$- 1$ на

$3$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{7 - 3}{3} - \frac{1}{3} | \begin{array}{c} 3 & \frac{1}{2} \\ 1 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - \frac{7}{3} \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.1.2.2.5.2

Вычтем

$3$ из

$7$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} | \begin{array}{c} 3 & \frac{1}{2} \\ 1 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - \frac{7}{3} \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.1.3

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 3 & \frac{1}{2} \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (3 \cdot - 1 - \frac{1}{2}) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - \frac{7}{3} \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.1.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Умножим

$3$ на

$- 1$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- 3 - \frac{1}{2}) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - \frac{7}{3} \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.1.3.2.2

Чтобы записать

$- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - \frac{7}{3} \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.1.3.2.3

Объединим

$- 3$ и

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (\frac{- 3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - \frac{7}{3} \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.1.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \cdot 2 - 1}{2} - 1 | \begin{array}{c} 3 & - \frac{7}{3} \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.1.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.5.1

Умножим

$- 3$ на

$2$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 - 1}{2} - 1 | \begin{array}{c} 3 & - \frac{7}{3} \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.1.3.2.5.2

Вычтем

$1$ из

$- 6$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{- 7}{2} - 1 | \begin{array}{c} 3 & - \frac{7}{3} \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.1.3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{7}{2}) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - \frac{7}{3} \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.1.4

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 3 & - \frac{7}{3} \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{7}{2}) - 1 (3 \cdot 2 - - \frac{7}{3})$

Этап 2.1.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1

Умножим

$3$ на

$2$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{7}{2}) - 1 (6 - - \frac{7}{3})$

Этап 2.1.4.2.1.2

Умножим

$- - \frac{7}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.2.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{7}{2}) - 1 (6 + 1 (\frac{7}{3}))$

Этап 2.1.4.2.1.2.2

Умножим

$\frac{7}{3}$ на

$1$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{7}{2}) - 1 (6 + \frac{7}{3})$

Этап 2.1.4.2.2

Чтобы записать

$6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{7}{2}) - 1 (6 \cdot \frac{3}{3} + \frac{7}{3})$

Этап 2.1.4.2.3

Объединим

$6$ и

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{7}{2}) - 1 (\frac{6 \cdot 3}{3} + \frac{7}{3})$

Этап 2.1.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{7}{2}) - 1 \frac{6 \cdot 3 + 7}{3}$

Этап 2.1.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.1

Умножим

$6$ на

$3$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{7}{2}) - 1 \frac{18 + 7}{3}$

Этап 2.1.4.2.5.2

Добавим

$18$ и

$7$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{7}{2}) - 1 (\frac{25}{3})$

Этап 2.1.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1.1

Вынесем множитель

$3$ из

$9$ .

$\frac{3 (3)}{2} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{7}{2}) - 1 (\frac{25}{3})$

Этап 2.1.5.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{7}{2}) - 1 (\frac{25}{3})$

Этап 2.1.5.1.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} \cdot 4 - \frac{1}{3} (- \frac{7}{2}) - 1 (\frac{25}{3})$

Этап 2.1.5.1.2

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$4$ .

$\frac{3}{2} \cdot (2 (2)) - \frac{1}{3} (- \frac{7}{2}) - 1 (\frac{25}{3})$

Этап 2.1.5.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot 2) - \frac{1}{3} (- \frac{7}{2}) - 1 (\frac{25}{3})$

Этап 2.1.5.1.2.3

Перепишем это выражение.

$3 \cdot 2 - \frac{1}{3} (- \frac{7}{2}) - 1 (\frac{25}{3})$

Этап 2.1.5.1.3

Умножим

$3$ на

$2$ .

$6 - \frac{1}{3} (- \frac{7}{2}) - 1 (\frac{25}{3})$

Этап 2.1.5.1.4

Умножим

$- \frac{1}{3} (- \frac{7}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.4.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$6 + 1 (\frac{1}{3}) \frac{7}{2} - 1 (\frac{25}{3})$

Этап 2.1.5.1.4.2

Умножим

$\frac{1}{3}$ на

$1$ .

$6 + \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{2} - 1 (\frac{25}{3})$

Этап 2.1.5.1.4.3

Умножим

$\frac{1}{3}$ на

$\frac{7}{2}$ .

$6 + \frac{7}{3 \cdot 2} - 1 (\frac{25}{3})$

Этап 2.1.5.1.4.4

Умножим

$3$ на

$2$ .

$6 + \frac{7}{6} - 1 (\frac{25}{3})$

Этап 2.1.5.1.5

Перепишем

$- 1 (\frac{25}{3})$ в виде

$- (\frac{25}{3})$ .

$6 + \frac{7}{6} - \frac{25}{3}$

Этап 2.1.5.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1

Запишем

$6$ в виде дроби со знаменателем

$1$ .

$\frac{6}{1} + \frac{7}{6} - \frac{25}{3}$

Этап 2.1.5.2.2

Умножим

$\frac{6}{1}$ на

$\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{1} \cdot \frac{6}{6} + \frac{7}{6} - \frac{25}{3}$

Этап 2.1.5.2.3

Умножим

$\frac{6}{1}$ на

$\frac{6}{6}$ .

$\frac{6 \cdot 6}{6} + \frac{7}{6} - \frac{25}{3}$

Этап 2.1.5.2.4

Умножим

$\frac{25}{3}$ на

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 \cdot 6}{6} + \frac{7}{6} - (\frac{25}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Этап 2.1.5.2.5

Умножим

$\frac{25}{3}$ на

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 \cdot 6}{6} + \frac{7}{6} - \frac{25 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Этап 2.1.5.2.6

Изменим порядок множителей в

$3 \cdot 2$ .

$\frac{6 \cdot 6}{6} + \frac{7}{6} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Этап 2.1.5.2.7

Умножим

$2$ на

$3$ .

$\frac{6 \cdot 6}{6} + \frac{7}{6} - \frac{25 \cdot 2}{6}$

Этап 2.1.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 \cdot 6 + 7 - 25 \cdot 2}{6}$

Этап 2.1.5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.4.1

Умножим

$6$ на

$6$ .

$\frac{36 + 7 - 25 \cdot 2}{6}$

Этап 2.1.5.4.2

Умножим

$- 25$ на

$2$ .

$\frac{36 + 7 - 50}{6}$

Этап 2.1.5.5

Добавим

$36$ и

$7$ .

$\frac{43 - 50}{6}$

Этап 2.1.5.6

Вычтем

$50$ из

$43$ .

$\frac{- 7}{6}$

Этап 2.1.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7}{6}$

Этап 2.2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 2.3

Set up a

$3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{2} & \frac{1}{3} & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & - \frac{7}{3} & \frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{2}{9}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{2}{9}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{9} \cdot \frac{9}{2} & \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{3} & \frac{2}{9} \cdot - 1 & \frac{2}{9} \cdot 1 & \frac{2}{9} \cdot 0 & \frac{2}{9} \cdot 0 \\ 3 & - \frac{7}{3} & \frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.1.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{27} & - \frac{2}{9} & \frac{2}{9} & 0 & 0 \\ 3 & - \frac{7}{3} & \frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{27} & - \frac{2}{9} & \frac{2}{9} & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - \frac{7}{3} - 3 (\frac{2}{27}) & \frac{1}{2} - 3 (- \frac{2}{9}) & 0 - 3 (\frac{2}{9}) & 1 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 1 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.2.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{27} & - \frac{2}{9} & \frac{2}{9} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{23}{9} & \frac{7}{6} & - \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 1 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{27} & - \frac{2}{9} & \frac{2}{9} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{23}{9} & \frac{7}{6} & - \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 2 - \frac{2}{27} & - 1 + \frac{2}{9} & 0 - \frac{2}{9} & 0 - 0 & 1 - 0 \end{array}]$

Этап 2.4.3.2

Упростим

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{27} & - \frac{2}{9} & \frac{2}{9} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{23}{9} & \frac{7}{6} & - \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{52}{27} & - \frac{7}{9} & - \frac{2}{9} & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.4

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- \frac{9}{23}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- \frac{9}{23}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{27} & - \frac{2}{9} & \frac{2}{9} & 0 & 0 \\ - \frac{9}{23} \cdot 0 & - \frac{9}{23} (- \frac{23}{9}) & - \frac{9}{23} \cdot \frac{7}{6} & - \frac{9}{23} (- \frac{2}{3}) & - \frac{9}{23} \cdot 1 & - \frac{9}{23} \cdot 0 \\ 0 & \frac{52}{27} & - \frac{7}{9} & - \frac{2}{9} & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.4.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{27} & - \frac{2}{9} & \frac{2}{9} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{21}{46} & \frac{6}{23} & - \frac{9}{23} & 0 \\ 0 & \frac{52}{27} & - \frac{7}{9} & - \frac{2}{9} & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.5

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - \frac{52}{27} R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - \frac{52}{27} R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{27} & - \frac{2}{9} & \frac{2}{9} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{21}{46} & \frac{6}{23} & - \frac{9}{23} & 0 \\ 0 - \frac{52}{27} \cdot 0 & \frac{52}{27} - \frac{52}{27} \cdot 1 & - \frac{7}{9} - \frac{52}{27} (- \frac{21}{46}) & - \frac{2}{9} - \frac{52}{27} \cdot \frac{6}{23} & 0 - \frac{52}{27} (- \frac{9}{23}) & 1 - \frac{52}{27} \cdot 0 \end{array}]$

Этап 2.4.5.2

Упростим

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{27} & - \frac{2}{9} & \frac{2}{9} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{21}{46} & \frac{6}{23} & - \frac{9}{23} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{69} & - \frac{50}{69} & \frac{52}{69} & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.6

Multiply each element of

$R_{3}$ by

$\frac{69}{7}$ to make the entry at

$3, 3$ a

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Multiply each element of

$R_{3}$ by

$\frac{69}{7}$ to make the entry at

$3, 3$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{27} & - \frac{2}{9} & \frac{2}{9} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{21}{46} & \frac{6}{23} & - \frac{9}{23} & 0 \\ \frac{69}{7} \cdot 0 & \frac{69}{7} \cdot 0 & \frac{69}{7} \cdot \frac{7}{69} & \frac{69}{7} (- \frac{50}{69}) & \frac{69}{7} \cdot \frac{52}{69} & \frac{69}{7} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 2.4.6.2

Упростим

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{27} & - \frac{2}{9} & \frac{2}{9} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{21}{46} & \frac{6}{23} & - \frac{9}{23} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{50}{7} & \frac{52}{7} & \frac{69}{7} \end{array}]$

Этап 2.4.7

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + \frac{21}{46} R_{3}$ to make the entry at

$2, 3$ a

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + \frac{21}{46} R_{3}$ to make the entry at

$2, 3$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{27} & - \frac{2}{9} & \frac{2}{9} & 0 & 0 \\ 0 + \frac{21}{46} \cdot 0 & 1 + \frac{21}{46} \cdot 0 & - \frac{21}{46} + \frac{21}{46} \cdot 1 & \frac{6}{23} + \frac{21}{46} (- \frac{50}{7}) & - \frac{9}{23} + \frac{21}{46} \cdot \frac{52}{7} & 0 + \frac{21}{46} \cdot \frac{69}{7} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{50}{7} & \frac{52}{7} & \frac{69}{7} \end{array}]$

Этап 2.4.7.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{27} & - \frac{2}{9} & \frac{2}{9} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 3 & 3 & \frac{9}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{50}{7} & \frac{52}{7} & \frac{69}{7} \end{array}]$

Этап 2.4.8

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} + \frac{2}{9} R_{3}$ to make the entry at

$1, 3$ a

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.8.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} + \frac{2}{9} R_{3}$ to make the entry at

$1, 3$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{9} \cdot 0 & \frac{2}{27} + \frac{2}{9} \cdot 0 & - \frac{2}{9} + \frac{2}{9} \cdot 1 & \frac{2}{9} + \frac{2}{9} (- \frac{50}{7}) & 0 + \frac{2}{9} \cdot \frac{52}{7} & 0 + \frac{2}{9} \cdot \frac{69}{7} \\ 0 & 1 & 0 & - 3 & 3 & \frac{9}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{50}{7} & \frac{52}{7} & \frac{69}{7} \end{array}]$

Этап 2.4.8.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{27} & 0 & - \frac{86}{63} & \frac{104}{63} & \frac{46}{21} \\ 0 & 1 & 0 & - 3 & 3 & \frac{9}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{50}{7} & \frac{52}{7} & \frac{69}{7} \end{array}]$

Этап 2.4.9

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - \frac{2}{27} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.9.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - \frac{2}{27} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{27} \cdot 0 & \frac{2}{27} - \frac{2}{27} \cdot 1 & 0 - \frac{2}{27} \cdot 0 & - \frac{86}{63} - \frac{2}{27} \cdot - 3 & \frac{104}{63} - \frac{2}{27} \cdot 3 & \frac{46}{21} - \frac{2}{27} \cdot \frac{9}{2} \\ 0 & 1 & 0 & - 3 & 3 & \frac{9}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{50}{7} & \frac{52}{7} & \frac{69}{7} \end{array}]$

Этап 2.4.9.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{8}{7} & \frac{10}{7} & \frac{13}{7} \\ 0 & 1 & 0 & - 3 & 3 & \frac{9}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{50}{7} & \frac{52}{7} & \frac{69}{7} \end{array}]$

Этап 2.5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} - \frac{8}{7} & \frac{10}{7} & \frac{13}{7} \\ - 3 & 3 & \frac{9}{2} \\ - \frac{50}{7} & \frac{52}{7} & \frac{69}{7} \end{array}]$

Этап 3

Умножим слева обе части матричного уравнения на обратную матрицу.

$([\begin{array}{c} - \frac{8}{7} & \frac{10}{7} & \frac{13}{7} \\ - 3 & 3 & \frac{9}{2} \\ - \frac{50}{7} & \frac{52}{7} & \frac{69}{7} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{9}{2} & \frac{1}{3} & - 1 \\ 3 & - \frac{7}{3} & \frac{1}{2} \\ 1 & 2 & - 1 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{8}{7} & \frac{10}{7} & \frac{13}{7} \\ - 3 & 3 & \frac{9}{2} \\ - \frac{50}{7} & \frac{52}{7} & \frac{69}{7} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - 145 \\ \frac{49}{3} \\ - 15 \end{array}]$

Этап 4

Любая матрица, умноженная на свою обратную, всегда равна

$1$ .

$A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{8}{7} & \frac{10}{7} & \frac{13}{7} \\ - 3 & 3 & \frac{9}{2} \\ - \frac{50}{7} & \frac{52}{7} & \frac{69}{7} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - 145 \\ \frac{49}{3} \\ - 15 \end{array}]$

Этап 5

Умножим

$[\begin{array}{c} - \frac{8}{7} & \frac{10}{7} & \frac{13}{7} \\ - 3 & 3 & \frac{9}{2} \\ - \frac{50}{7} & \frac{52}{7} & \frac{69}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} - 145 \\ \frac{49}{3} \\ - 15 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

$3 \times 3$ and the second matrix is

$3 \times 1$ .

Этап 5.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$[\begin{array}{c} - \frac{8}{7} \cdot - 145 + \frac{10}{7} \cdot \frac{49}{3} + \frac{13}{7} \cdot - 15 \\ - 3 \cdot - 145 + 3 (\frac{49}{3}) + \frac{9}{2} \cdot - 15 \\ - \frac{50}{7} \cdot - 145 + \frac{52}{7} \cdot \frac{49}{3} + \frac{69}{7} \cdot - 15 \end{array}]$

Этап 5.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим

$6215$ на

$3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3385}{21} \\ \frac{833}{2} \\ \frac{18645 + 364 \cdot 7}{21} \end{array}]$

Этап 5.3.2

Умножим

$364$ на

$7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3385}{21} \\ \frac{833}{2} \\ \frac{18645 + 2548}{21} \end{array}]$

Этап 5.3.3

Добавим

$18645$ и

$2548$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3385}{21} \\ \frac{833}{2} \\ \frac{21193}{21} \end{array}]$

Этап 6

Упростим левую и правую части.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3385}{21} \\ \frac{833}{2} \\ \frac{21193}{21} \end{array}]$

Этап 7

Найдем решение.

$x = \frac{3385}{21}$

$y = \frac{833}{2}$

$z = \frac{21193}{21}$