Линейная алгебра Примеры

$\frac{1}{3} x + \frac{1}{5} y = - \frac{4}{15}$ , $\frac{1}{3} x + 4 y = \frac{22}{3}$

Этап 1

Найдем $A X = B$ из системы уравнений.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{3} & 4 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{4}{15} \\ \frac{22}{3} \end{array}]$

Этап 2

Найдем матрицу, обратную к матрице коэффициентов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Этап 2.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 2.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $4$ .

$\frac{4}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} - \frac{1}{5 \cdot 3}$

Этап 2.2.2.1.2.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{4}{3} - \frac{1}{15}$

Этап 2.2.2.2

Чтобы записать $\frac{4}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{15}$

Этап 2.2.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{15}$

Этап 2.2.2.3.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{4 \cdot 5}{15} - \frac{1}{15}$

Этап 2.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 \cdot 5 - 1}{15}$

Этап 2.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.5.1

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{20 - 1}{15}$

Этап 2.2.2.5.2

Вычтем $1$ из $20$ .

$\frac{19}{15}$

Этап 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{\frac{19}{15}} [\begin{array}{c} 4 & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 (\frac{15}{19}) [\begin{array}{c} 4 & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 2.6

Умножим $\frac{15}{19}$ на $1$ .

$\frac{15}{19} [\begin{array}{c} 4 & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 2.7

Умножим $\frac{15}{19}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} \frac{15}{19} \cdot 4 & \frac{15}{19} (- \frac{1}{5}) \\ \frac{15}{19} (- \frac{1}{3}) & \frac{15}{19} \cdot \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 2.8

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим $\frac{15}{19} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Объединим $\frac{15}{19}$ и $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{15 \cdot 4}{19} & \frac{15}{19} (- \frac{1}{5}) \\ \frac{15}{19} (- \frac{1}{3}) & \frac{15}{19} \cdot \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 2.8.1.2

Умножим $15$ на $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{60}{19} & \frac{15}{19} (- \frac{1}{5}) \\ \frac{15}{19} (- \frac{1}{3}) & \frac{15}{19} \cdot \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 2.8.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{5}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} \frac{60}{19} & \frac{15}{19} \cdot \frac{- 1}{5} \\ \frac{15}{19} (- \frac{1}{3}) & \frac{15}{19} \cdot \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 2.8.2.2

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$[\begin{array}{c} \frac{60}{19} & \frac{5 (3)}{19} \cdot \frac{- 1}{5} \\ \frac{15}{19} (- \frac{1}{3}) & \frac{15}{19} \cdot \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 2.8.2.3

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{60}{19} & \frac{5 \cdot 3}{19} \cdot \frac{- 1}{5} \\ \frac{15}{19} (- \frac{1}{3}) & \frac{15}{19} \cdot \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 2.8.2.4

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{60}{19} & \frac{3}{19} \cdot - 1 \\ \frac{15}{19} (- \frac{1}{3}) & \frac{15}{19} \cdot \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 2.8.3

Объединим $\frac{3}{19}$ и $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{60}{19} & \frac{3 \cdot - 1}{19} \\ \frac{15}{19} (- \frac{1}{3}) & \frac{15}{19} \cdot \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 2.8.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{60}{19} & \frac{- 3}{19} \\ \frac{15}{19} (- \frac{1}{3}) & \frac{15}{19} \cdot \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 2.8.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} \frac{60}{19} & - \frac{3}{19} \\ \frac{15}{19} (- \frac{1}{3}) & \frac{15}{19} \cdot \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 2.8.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} \frac{60}{19} & - \frac{3}{19} \\ \frac{15}{19} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{15}{19} \cdot \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 2.8.6.2

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$[\begin{array}{c} \frac{60}{19} & - \frac{3}{19} \\ \frac{3 (5)}{19} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{15}{19} \cdot \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 2.8.6.3

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{60}{19} & - \frac{3}{19} \\ \frac{3 \cdot 5}{19} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{15}{19} \cdot \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 2.8.6.4

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{60}{19} & - \frac{3}{19} \\ \frac{5}{19} \cdot - 1 & \frac{15}{19} \cdot \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 2.8.7

Объединим $\frac{5}{19}$ и $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{60}{19} & - \frac{3}{19} \\ \frac{5 \cdot - 1}{19} & \frac{15}{19} \cdot \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 2.8.8

Умножим $5$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{60}{19} & - \frac{3}{19} \\ \frac{- 5}{19} & \frac{15}{19} \cdot \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 2.8.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} \frac{60}{19} & - \frac{3}{19} \\ - \frac{5}{19} & \frac{15}{19} \cdot \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 2.8.10

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.10.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$[\begin{array}{c} \frac{60}{19} & - \frac{3}{19} \\ - \frac{5}{19} & \frac{3 (5)}{19} \cdot \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 2.8.10.2

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{60}{19} & - \frac{3}{19} \\ - \frac{5}{19} & \frac{3 \cdot 5}{19} \cdot \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 2.8.10.3

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{60}{19} & - \frac{3}{19} \\ - \frac{5}{19} & \frac{5}{19} \end{array}]$

Этап 3

Умножим слева обе части матричного уравнения на обратную матрицу.

$([\begin{array}{c} \frac{60}{19} & - \frac{3}{19} \\ - \frac{5}{19} & \frac{5}{19} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{3} & 4 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{60}{19} & - \frac{3}{19} \\ - \frac{5}{19} & \frac{5}{19} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - \frac{4}{15} \\ \frac{22}{3} \end{array}]$

Этап 4

Любая матрица, умноженная на свою обратную, всегда равна $1$ . $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{60}{19} & - \frac{3}{19} \\ - \frac{5}{19} & \frac{5}{19} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - \frac{4}{15} \\ \frac{22}{3} \end{array}]$

Этап 5

Умножим $[\begin{array}{c} \frac{60}{19} & - \frac{3}{19} \\ - \frac{5}{19} & \frac{5}{19} \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{4}{15} \\ \frac{22}{3} \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Этап 5.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$[\begin{array}{c} \frac{60}{19} (- \frac{4}{15}) - \frac{3}{19} \cdot \frac{22}{3} \\ - \frac{5}{19} (- \frac{4}{15}) + \frac{5}{19} \cdot \frac{22}{3} \end{array}]$

Этап 5.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$[\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \end{array}]$

Этап 6

Упростим левую и правую части.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \end{array}]$

Этап 7

Найдем решение.

$x = - 2$

$y = 2$