Линейная алгебра Примеры

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 4 - 2 & - 6 & - 8 1 & 4 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 4 \\ - 2 & - 6 & - 8 \\ 1 & 4 & 9 \end{array}]$

Этап 1

Consider the corresponding sign chart.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Этап 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Calculate the minor for element

a_{11}

$a_{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 6 & - 8 4 & 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 6 & - 8 \\ 4 & 9 \end{array} |$

Этап 2.1.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{11} = - 6 \cdot 9 - 4 \cdot - 8

$a_{11} = - 6 \cdot 9 - 4 \cdot - 8$

Этап 2.1.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Умножим

- 6

$- 6$ на

9

$9$ .

a_{11} = - 54 - 4 \cdot - 8

$a_{11} = - 54 - 4 \cdot - 8$

Этап 2.1.2.2.1.2

Умножим

- 4

$- 4$ на

- 8

$- 8$ .

a_{11} = - 54 + 32

$a_{11} = - 54 + 32$

a_{11} = - 54 + 32

$a_{11} = - 54 + 32$

Этап 2.1.2.2.2

Добавим

- 54

$- 54$ и

32

$32$ .

a_{11} = - 22

$a_{11} = - 22$

a_{11} = - 22

$a_{11} = - 22$

a_{11} = - 22

$a_{11} = - 22$

a_{11} = - 22

$a_{11} = - 22$

Этап 2.2

Calculate the minor for element

a_{12}

$a_{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 2 & - 8 1 & 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 2 & - 8 \\ 1 & 9 \end{array} |$

Этап 2.2.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{12} = - 2 \cdot 9 - 1 \cdot - 8

$a_{12} = - 2 \cdot 9 - 1 \cdot - 8$

Этап 2.2.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1.1

Умножим

- 2

$- 2$ на

9

$9$ .

a_{12} = - 18 - 1 \cdot - 8

$a_{12} = - 18 - 1 \cdot - 8$

Этап 2.2.2.2.1.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 8

$- 8$ .

a_{12} = - 18 + 8

$a_{12} = - 18 + 8$

a_{12} = - 18 + 8

$a_{12} = - 18 + 8$

Этап 2.2.2.2.2

Добавим

- 18

$- 18$ и

8

$8$ .

a_{12} = - 10

$a_{12} = - 10$

a_{12} = - 10

$a_{12} = - 10$

a_{12} = - 10

$a_{12} = - 10$

a_{12} = - 10

$a_{12} = - 10$

Этап 2.3

Calculate the minor for element

a_{13}

$a_{13}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 2 & - 6 1 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 2 & - 6 \\ 1 & 4 \end{array} |$

Этап 2.3.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = - 2 \cdot 4 - 1 \cdot - 6$

Этап 2.3.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Умножим

$- 2$ на

$4$ .

$a_{13} = - 8 - 1 \cdot - 6$

Этап 2.3.2.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$- 6$ .

$a_{13} = - 8 + 6$

Этап 2.3.2.2.2

Добавим

$- 8$ и

$6$ .

$a_{13} = - 2$

Этап 2.4

Calculate the minor for element

$a_{21}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 4 & 9 \end{array} |$

Этап 2.4.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 3 \cdot 9 - 4 \cdot 4$

Этап 2.4.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Умножим

$3$ на

$9$ .

$a_{21} = 27 - 4 \cdot 4$

Этап 2.4.2.2.1.2

Умножим

$- 4$ на

$4$ .

$a_{21} = 27 - 16$

Этап 2.4.2.2.2

Вычтем

$16$ из

$27$ .

$a_{21} = 11$

Этап 2.5

Calculate the minor for element

$a_{22}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 9 \end{array} |$

Этап 2.5.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 1 \cdot 9 - 1 \cdot 4$

Этап 2.5.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1.1

Умножим

$9$ на

$1$ .

$a_{22} = 9 - 1 \cdot 4$

Этап 2.5.2.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$4$ .

$a_{22} = 9 - 4$

Этап 2.5.2.2.2

Вычтем

$4$ из

$9$ .

$a_{22} = 5$

Этап 2.6

Calculate the minor for element

$a_{23}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} |$

Этап 2.6.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 1 \cdot 4 - 1 \cdot 3$

Этап 2.6.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1.1

Умножим

$4$ на

$1$ .

$a_{23} = 4 - 1 \cdot 3$

Этап 2.6.2.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$3$ .

$a_{23} = 4 - 3$

Этап 2.6.2.2.2

Вычтем

$3$ из

$4$ .

$a_{23} = 1$

Этап 2.7

Calculate the minor for element

$a_{31}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 6 & - 8 \end{array} |$

Этап 2.7.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 3 \cdot - 8 - (- 6 \cdot 4)$

Этап 2.7.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1.1

Умножим

$3$ на

$- 8$ .

$a_{31} = - 24 - (- 6 \cdot 4)$

Этап 2.7.2.2.1.2

Умножим

$- (- 6 \cdot 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1.2.1

Умножим

$- 6$ на

$4$ .

$a_{31} = - 24 - - 24$

Этап 2.7.2.2.1.2.2

Умножим

$- 1$ на

$- 24$ .

$a_{31} = - 24 + 24$

Этап 2.7.2.2.2

Добавим

$- 24$ и

$24$ .

$a_{31} = 0$

Этап 2.8

Calculate the minor for element

$a_{32}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 2 & - 8 \end{array} |$

Этап 2.8.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 1 \cdot - 8 - (- 2 \cdot 4)$

Этап 2.8.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1.1

Умножим

$- 8$ на

$1$ .

$a_{32} = - 8 - (- 2 \cdot 4)$

Этап 2.8.2.2.1.2

Умножим

$- (- 2 \cdot 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1.2.1

Умножим

$- 2$ на

$4$ .

$a_{32} = - 8 - - 8$

Этап 2.8.2.2.1.2.2

Умножим

$- 1$ на

$- 8$ .

$a_{32} = - 8 + 8$

Этап 2.8.2.2.2

Добавим

$- 8$ и

$8$ .

$a_{32} = 0$

Этап 2.9

Calculate the minor for element

$a_{33}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ - 2 & - 6 \end{array} |$

Этап 2.9.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 1 \cdot - 6 - (- 2 \cdot 3)$

Этап 2.9.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.2.1.1

Умножим

$- 6$ на

$1$ .

$a_{33} = - 6 - (- 2 \cdot 3)$

Этап 2.9.2.2.1.2

Умножим

$- (- 2 \cdot 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.2.1.2.1

Умножим

$- 2$ на

$3$ .

$a_{33} = - 6 - - 6$

Этап 2.9.2.2.1.2.2

Умножим

$- 1$ на

$- 6$ .

$a_{33} = - 6 + 6$

Этап 2.9.2.2.2

Добавим

$- 6$ и

$6$ .

$a_{33} = 0$

Этап 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

$-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} - 22 & 10 & - 2 \\ - 11 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$