Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 3 & - 3 & 2 \\ - 1 & - 11 & 6 \end{array}]$

Этап 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Этап 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 11 & 6 \end{array} |$

Этап 2.1.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = - 3 \cdot 6 - (- 11 \cdot 2)$

Этап 2.1.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Умножим $- 3$ на $6$ .

$a_{11} = - 18 - (- 11 \cdot 2)$

Этап 2.1.2.2.1.2

Умножим $- (- 11 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.2.1

Умножим $- 11$ на $2$ .

$a_{11} = - 18 - - 22$

Этап 2.1.2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 22$ .

$a_{11} = - 18 + 22$

Этап 2.1.2.2.2

Добавим $- 18$ и $22$ .

$a_{11} = 4$

Этап 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

Этап 2.2.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 3 \cdot 6 - (- 1 \cdot 2)$

Этап 2.2.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1.1

Умножим $3$ на $6$ .

$a_{12} = 18 - (- 1 \cdot 2)$

Этап 2.2.2.2.1.2

Умножим $- (- 1 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$a_{12} = 18 - - 2$

Этап 2.2.2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$a_{12} = 18 + 2$

Этап 2.2.2.2.2

Добавим $18$ и $2$ .

$a_{12} = 20$

Этап 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ - 1 & - 11 \end{array} |$

Этап 2.3.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 3 \cdot - 11 - - - 3$

Этап 2.3.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Умножим $3$ на $- 11$ .

$a_{13} = - 33 - - - 3$

Этап 2.3.2.2.1.2

Умножим $- - - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$a_{13} = - 33 - 1 \cdot 3$

Этап 2.3.2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$a_{13} = - 33 - 3$

Этап 2.3.2.2.2

Вычтем $3$ из $- 33$ .

$a_{13} = - 36$

Этап 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 11 & 6 \end{array} |$

Этап 2.4.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 2 \cdot 6 - (- 11 \cdot - 1)$

Этап 2.4.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Умножим $2$ на $6$ .

$a_{21} = 12 - (- 11 \cdot - 1)$

Этап 2.4.2.2.1.2

Умножим $- (- 11 \cdot - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.2.1

Умножим $- 11$ на $- 1$ .

$a_{21} = 12 - 1 \cdot 11$

Этап 2.4.2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $11$ .

$a_{21} = 12 - 11$

Этап 2.4.2.2.2

Вычтем $11$ из $12$ .

$a_{21} = 1$

Этап 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

Этап 2.5.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 1 \cdot 6 - - - 1$

Этап 2.5.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1.1

Умножим $6$ на $1$ .

$a_{22} = 6 - - - 1$

Этап 2.5.2.2.1.2

Умножим $- - - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$a_{22} = 6 - 1 \cdot 1$

Этап 2.5.2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$a_{22} = 6 - 1$

Этап 2.5.2.2.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$a_{22} = 5$

Этап 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 11 \end{array} |$

Этап 2.6.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 1 \cdot - 11 - (- 1 \cdot 2)$

Этап 2.6.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1.1

Умножим $- 11$ на $1$ .

$a_{23} = - 11 - (- 1 \cdot 2)$

Этап 2.6.2.2.1.2

Умножим $- (- 1 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$a_{23} = - 11 - - 2$

Этап 2.6.2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$a_{23} = - 11 + 2$

Этап 2.6.2.2.2

Добавим $- 11$ и $2$ .

$a_{23} = - 9$

Этап 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

Этап 2.7.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 2 \cdot 2 - (- 3 \cdot - 1)$

Этап 2.7.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$a_{31} = 4 - (- 3 \cdot - 1)$

Этап 2.7.2.2.1.2

Умножим $- (- 3 \cdot - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1.2.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$a_{31} = 4 - 1 \cdot 3$

Этап 2.7.2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$a_{31} = 4 - 3$

Этап 2.7.2.2.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$a_{31} = 1$

Этап 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Этап 2.8.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 1 \cdot 2 - 3 \cdot - 1$

Этап 2.8.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$a_{32} = 2 - 3 \cdot - 1$

Этап 2.8.2.2.1.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$a_{32} = 2 + 3$

Этап 2.8.2.2.2

Добавим $2$ и $3$ .

$a_{32} = 5$

Этап 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Этап 2.9.2

Evaluate the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 1 \cdot - 3 - 3 \cdot 2$

Этап 2.9.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.2.1.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$a_{33} = - 3 - 3 \cdot 2$

Этап 2.9.2.2.1.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$a_{33} = - 3 - 6$

Этап 2.9.2.2.2

Вычтем $6$ из $- 3$ .

$a_{33} = - 9$

Этап 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 4 & - 20 & - 36 \\ - 1 & 5 & 9 \\ 1 & - 5 & - 9 \end{array}]$