Линейная алгебра Примеры

A = [\begin{matrix} 0 & 7 \frac{1}{7} & 0 \end{matrix}]

$A = [\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения

$p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$

Этап 1.2

Единичная матрица размера

$2$ представляет собой квадратную матрицу

$2 \times 2$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Подставим известное значение в

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим

$[\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}]$ вместо

$A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Этап 1.3.2

Подставим

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ вместо

$I_{2}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим

$- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 0 - λ & 7 + 0 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Вычтем

$λ$ из

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - λ & 7 + 0 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Добавим

$7$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - λ & 7 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.3

Добавим

$\frac{1}{7}$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - λ & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.4

Вычтем

$λ$ из

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - λ & 7 \\ \frac{1}{7} & - λ \end{array}]$

Этап 1.5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - λ (- λ) - \frac{1}{7} \cdot 7$

Этап 1.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - \frac{1}{7} \cdot 7$

Этап 1.5.2.2

Умножим

$λ$ на

$λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Перенесем

$λ$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - \frac{1}{7} \cdot 7$

Этап 1.5.2.2.2

Умножим

$λ$ на

$λ$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - \frac{1}{7} \cdot 7$

Этап 1.5.2.3

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$p (λ) = 1 λ^{2} - \frac{1}{7} \cdot 7$

Этап 1.5.2.4

Умножим

$λ^{2}$ на

$1$ .

$p (λ) = λ^{2} - \frac{1}{7} \cdot 7$

Этап 1.5.2.5

Сократим общий множитель

$7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в

$- \frac{1}{7}$ в числитель.

$p (λ) = λ^{2} + \frac{- 1}{7} \cdot 7$

Этап 1.5.2.5.2

Сократим общий множитель.

$p (λ) = λ^{2} + \frac{- 1}{7} \cdot 7$

Этап 1.5.2.5.3

Перепишем это выражение.

$p (λ) = λ^{2} - 1$

Этап 1.6

Примем характеристический многочлен равным

$0$ , чтобы найти собственные значения

$λ$ .

$λ^{2} - 1 = 0$

Этап 1.7

Решим относительно

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Добавим

$1$ к обеим частям уравнения.

$λ^{2} = 1$

Этап 1.7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{1}$

Этап 1.7.3

Любой корень из

$1$ равен

$1$ .

$λ = \pm 1$

Этап 1.7.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Сначала с помощью положительного значения

$\pm$ найдем первое решение.

$λ = 1$

Этап 1.7.4.2

Затем, используя отрицательное значение

$\pm$ , найдем второе решение.

$λ = - 1$

Этап 1.7.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$λ = 1, - 1$

Этап 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Этап 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 0 - 1 & 7 - 0 \\ \frac{1}{7} - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем

$1$ из

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 - 0 \\ \frac{1}{7} - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2

Вычтем

$0$ из

$7$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ \frac{1}{7} - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.3

Вычтем

$0$ из

$\frac{1}{7}$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.4

Вычтем

$1$ из

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ \frac{1}{7} & - 1 \end{array}]$

Этап 3.3

Find the null space when

$λ = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 & 0 \\ \frac{1}{7} & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- 1$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- 1$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 7 & - 0 \\ \frac{1}{7} & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & 0 \\ \frac{1}{7} & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & 0 \\ \frac{1}{7} - \frac{1}{7} \cdot 1 & - 1 - \frac{1}{7} \cdot - 7 & 0 - \frac{1}{7} \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 7 y = 0$

$0 = 0$

Этап 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 y \\ y \end{array}]$

Этап 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}]$

Этап 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Этап 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 0 + 1 & 7 + 0 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим

$0$ и

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 + 0 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.2

Добавим

$7$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.3

Добавим

$\frac{1}{7}$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 + 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.4

Добавим

$0$ и

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 \\ \frac{1}{7} & 1 \end{array}]$

Этап 4.3

Find the null space when

$λ = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 & 0 \\ \frac{1}{7} & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 & 0 \\ \frac{1}{7} - \frac{1}{7} \cdot 1 & 1 - \frac{1}{7} \cdot 7 & 0 - \frac{1}{7} \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + 7 y = 0$

$0 = 0$

Этап 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 7 y \\ y \end{array}]$

Этап 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 7 \\ 1 \end{array}]$

Этап 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 7 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Этап 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 7 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 7 \\ 1 \end{array}]}$