Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 2

Единичная матрица размера $3$ представляет собой квадратную матрицу $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 \\ 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.5

Добавим $2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Этап 5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Этап 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Этап 5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) ((5 - λ) (4 - λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Этап 5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Развернем $(5 - λ) (4 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Этап 5.4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 \cdot 4 + 5 (- λ) - λ (4 - λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Этап 5.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 \cdot 4 + 5 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Этап 5.4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.2.1.1

Умножим $5$ на $4$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 + 5 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 2) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 2) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 2) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.2

Вычтем $4 λ$ из $- 5 λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 9 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2) + 0$

Этап 5.4.2.1.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 9 λ + λ^{2} - 4) + 0$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $4$ из $20$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (- 9 λ + λ^{2} + 16) + 0$

Этап 5.4.2.3

Изменим порядок $- 9 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16) + 0$

Этап 5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Объединим противоположные члены в $0 + (1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16) + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Добавим $0$ и $(1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16)$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16) + 0$

Этап 5.5.1.2

Добавим $(1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16)$

Этап 5.5.2

Развернем $(1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 9 λ) + 1 \cdot 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Этап 5.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 9 λ) + 1 \cdot 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Этап 5.5.3.2

Умножим $- 9 λ$ на $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 1 \cdot 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Этап 5.5.3.3

Умножим $16$ на $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Этап 5.5.3.4

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.4.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - (λ^{2} λ) - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Этап 5.5.3.4.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.4.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Этап 5.5.3.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{2 + 1} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Этап 5.5.3.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Этап 5.5.3.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 λ \cdot λ - λ \cdot 16$

Этап 5.5.3.6

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.6.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 (λ \cdot λ) - λ \cdot 16$

Этап 5.5.3.6.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 λ^{2} - λ \cdot 16$

Этап 5.5.3.7

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} + 9 λ^{2} - λ \cdot 16$

Этап 5.5.3.8

Умножим $16$ на $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} + 9 λ^{2} - 16 λ$

Этап 5.5.4

Добавим $λ^{2}$ и $9 λ^{2}$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} - 16 λ$

Этап 5.5.5

Вычтем $16 λ$ из $- 9 λ$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} - 25 λ + 16 - λ^{3}$

Этап 5.5.6

Перенесем $16$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} - 25 λ - λ^{3} + 16$

Этап 5.5.7

Перенесем $- 25 λ$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} - λ^{3} - 25 λ + 16$

Этап 5.5.8

Изменим порядок $10 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 10 λ^{2} - 25 λ + 16$