Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{4})$

Этап 1.2

Единичная матрица размера $4$ представляет собой квадратную матрицу $4 \times 4$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - λ I_{4})$

Этап 1.3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{4}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.5

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.5.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.5.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.9

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.9.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.9.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.10

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.10.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.10.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.12

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.12.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.12.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.13

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.13.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.13.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.14

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.14.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.14.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.15

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.15.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.15.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.16

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.5

Добавим $5$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 5 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.6

Добавим $- 10$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 5 & - 10 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.7

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 5 & - 10 \\ 1 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.8

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.9

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.11

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.12

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Этап 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 5 & - 10 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 5 & - 10 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & - 10 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & - 10 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 5 \\ 1 & 0 & 2 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 5 \\ 1 & 0 & 2 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 5 & - 10 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & - 10 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 5 \\ 1 & 0 & 2 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 5 & - 10 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & - 10 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 5 \\ 1 & 0 & 2 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & - 10 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 5 & - 10 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 5 \\ 1 & 0 & 2 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.4

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 5 \\ 1 & 0 & 2 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 5 & - 10 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 - λ & 5 & - 10 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 10 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 5 & - 10 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 10 \\ 2 - λ & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 5 & - 10 \\ 2 - λ & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 & - 10 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 & - 10 \\ 2 - λ & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 5 & - 10 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 5 & - 10 \\ 2 - λ & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 5 & - 10 \\ 2 - λ & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) ((2 - λ) (3 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.2.1.1

Развернем $(2 - λ) (3 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (2 (3 - λ) - λ (3 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (2 \cdot 3 + 2 (- λ) - λ (3 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (2 \cdot 3 + 2 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.1

Умножим $2$ на $3$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (6 + 2 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (6 - 2 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ + λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.2

Вычтем $3 λ$ из $- 2 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.3

Умножим $0$ на $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.2

Добавим $6 - 5 λ + λ^{2}$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2}) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.3

Перенесем $6$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (- 5 λ + λ^{2} + 6) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.4

Изменим порядок $- 5 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.5.1

Объединим противоположные члены в $(1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6) + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.5.1.1

Добавим $(1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6) + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.1.2

Добавим $(1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6)) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.2

Развернем $(1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = (1 - λ) (1 λ^{2} + 1 (- 5 λ) + 1 \cdot 6 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.5.3.1

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 1 (- 5 λ) + 1 \cdot 6 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3.2

Умножим $- 5 λ$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 1 \cdot 6 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3.4

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.5.3.4.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6 - (λ^{2} λ) - λ (- 5 λ) - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3.4.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.5.3.4.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 5 λ) - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6 - λ^{2 + 1} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6 - λ^{3} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 λ \cdot λ - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3.6

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.5.3.6.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 (λ \cdot λ) - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3.6.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 λ^{2} - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3.7

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6 - λ^{3} + 5 λ^{2} - λ \cdot 6) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3.8

Умножим $6$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6 - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.4

Добавим $λ^{2}$ и $5 λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 λ^{2} - 5 λ + 6 - λ^{3} - 6 λ) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.5

Вычтем $6 λ$ из $- 5 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.6

Перенесем $6$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 λ^{2} - 11 λ - λ^{3} + 6) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.7

Перенесем $- 11 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 λ^{2} - λ^{3} - 11 λ + 6) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.8

Изменим порядок $6 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.6

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1

Объединим противоположные члены в $(1 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6) + 0 + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1.1

Добавим $(1 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6) + 0 + 0$

Этап 1.5.6.1.2

Добавим $(1 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6) + 0$

Этап 1.5.6.1.3

Добавим $(1 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6)$

Этап 1.5.6.2

Развернем $(1 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (6 λ^{2}) + 1 (- 11 λ) + 1 \cdot 6 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

Этап 1.5.6.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.3.1

Умножим $- λ^{3}$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 1 (6 λ^{2}) + 1 (- 11 λ) + 1 \cdot 6 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

Этап 1.5.6.3.2

Умножим $6 λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} + 1 (- 11 λ) + 1 \cdot 6 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

Этап 1.5.6.3.3

Умножим $- 11 λ$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 1 \cdot 6 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

Этап 1.5.6.3.4

Умножим $6$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

Этап 1.5.6.3.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

Этап 1.5.6.3.6

Умножим $λ$ на $λ^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.3.6.1

Перенесем $λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

Этап 1.5.6.3.6.2

Умножим $λ^{3}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.3.6.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

Этап 1.5.6.3.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

Этап 1.5.6.3.6.3

Добавим $3$ и $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

Этап 1.5.6.3.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + 1 λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

Этап 1.5.6.3.8

Умножим $λ^{4}$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

Этап 1.5.6.3.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

Этап 1.5.6.3.10

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.3.10.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 1 \cdot 6 (λ^{2} λ) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

Этап 1.5.6.3.10.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.3.10.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 1 \cdot 6 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

Этап 1.5.6.3.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ^{2 + 1} - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

Этап 1.5.6.3.10.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ^{3} - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

Этап 1.5.6.3.11

Умножим $- 1$ на $6$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 6 λ^{3} - λ (- 11 λ) - λ \cdot 6$

Этап 1.5.6.3.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 11 λ \cdot λ - λ \cdot 6$

Этап 1.5.6.3.13

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.3.13.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 11 (λ \cdot λ) - λ \cdot 6$

Этап 1.5.6.3.13.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 11 λ^{2} - λ \cdot 6$

Этап 1.5.6.3.14

Умножим $- 1$ на $- 11$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 6 λ^{3} + 11 λ^{2} - λ \cdot 6$

Этап 1.5.6.3.15

Умножим $6$ на $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 6 λ^{3} + 11 λ^{2} - 6 λ$

Этап 1.5.6.4

Вычтем $6 λ^{3}$ из $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} + 11 λ^{2} - 6 λ$

Этап 1.5.6.5

Добавим $6 λ^{2}$ и $11 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 17 λ^{2} - 11 λ + 6 + λ^{4} - 6 λ$

Этап 1.5.6.6

Вычтем $6 λ$ из $- 11 λ$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 17 λ^{2} - 17 λ + 6 + λ^{4}$

Этап 1.5.6.7

Перенесем $6$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 17 λ^{2} - 17 λ + λ^{4} + 6$

Этап 1.5.6.8

Перенесем $- 17 λ$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 17 λ^{2} + λ^{4} - 17 λ + 6$

Этап 1.5.6.9

Перенесем $17 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + λ^{4} + 17 λ^{2} - 17 λ + 6$

Этап 1.5.6.10

Изменим порядок $- 7 λ^{3}$ и $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 7 λ^{3} + 17 λ^{2} - 17 λ + 6$

Этап 1.6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$λ^{4} - 7 λ^{3} + 17 λ^{2} - 17 λ + 6 = 0$

Этап 1.7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Перегруппируем члены.

$17 λ^{2} - 17 λ + λ^{4} - 7 λ^{3} + 6 = 0$

Этап 1.7.1.2

Вынесем множитель $17 λ$ из $17 λ^{2} - 17 λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1

Вынесем множитель $17 λ$ из $17 λ^{2}$ .

$17 λ (λ) - 17 λ + λ^{4} - 7 λ^{3} + 6 = 0$

Этап 1.7.1.2.2

Вынесем множитель $17 λ$ из $- 17 λ$ .

$17 λ (λ) + 17 λ (- 1) + λ^{4} - 7 λ^{3} + 6 = 0$

Этап 1.7.1.2.3

Вынесем множитель $17 λ$ из $17 λ (λ) + 17 λ (- 1)$ .

$17 λ (λ - 1) + λ^{4} - 7 λ^{3} + 6 = 0$

Этап 1.7.1.3

Разложим $λ^{4} - 7 λ^{3} + 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.3.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Этап 1.7.1.3.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Этап 1.7.1.3.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.3.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{4} - 7 \cdot 1^{3} + 6$

Этап 1.7.1.3.3.2

Возведем $1$ в степень $4$ .

$1 - 7 \cdot 1^{3} + 6$

Этап 1.7.1.3.3.3

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 - 7 \cdot 1 + 6$

Этап 1.7.1.3.3.4

Умножим $- 7$ на $1$ .

$1 - 7 + 6$

Этап 1.7.1.3.3.5

Вычтем $7$ из $1$ .

$- 6 + 6$

Этап 1.7.1.3.3.6

Добавим $- 6$ и $6$ .

$0$

Этап 1.7.1.3.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $λ - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{λ^{4} - 7 λ^{3} + 6}{λ - 1}$

Этап 1.7.1.3.5

Разделим $λ^{4} - 7 λ^{3} + 6$ на $λ - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.3.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

Этап 1.7.1.3.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $λ^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

$λ^{3}$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

Этап 1.7.1.3.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$λ^{3}$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

Этап 1.7.1.3.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $λ^{4} - λ^{3}$ .

$λ^{3}$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

Этап 1.7.1.3.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$λ^{3}$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

Этап 1.7.1.3.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$λ^{3}$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

Этап 1.7.1.3.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 λ^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

Этап 1.7.1.3.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

Этап 1.7.1.3.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 λ^{3} + 6 λ^{2}$ .

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

Этап 1.7.1.3.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

Этап 1.7.1.3.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$0 λ$

Этап 1.7.1.3.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 λ^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$0 λ$

Этап 1.7.1.3.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$0 λ$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

Этап 1.7.1.3.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 λ^{2} + 6 λ$ .

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$0 λ$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

Этап 1.7.1.3.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$0 λ$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

Этап 1.7.1.3.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$0 λ$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$6$

Этап 1.7.1.3.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 λ$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$6$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$0 λ$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$6$

Этап 1.7.1.3.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$6$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$0 λ$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$6$

$6 λ$

$6$

Этап 1.7.1.3.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 λ + 6$ .

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$6$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$0 λ$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$6$

$6 λ$

$6$

Этап 1.7.1.3.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$6$

$λ$

$1$

$λ^{4}$

$7 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$0 λ$

$6$

$λ^{4}$

$λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$0 λ$

$6 λ^{2}$

$6 λ$

$6$

$6 λ$

$6$

$0$

Этап 1.7.1.3.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$λ^{3} - 6 λ^{2} - 6 λ - 6$

Этап 1.7.1.3.6

Запишем $λ^{4} - 7 λ^{3} + 6$ в виде набора множителей.

$17 λ (λ - 1) + (λ - 1) (λ^{3} - 6 λ^{2} - 6 λ - 6) = 0$

Этап 1.7.1.4

Вынесем множитель $λ - 1$ из $17 λ (λ - 1) + (λ - 1) (λ^{3} - 6 λ^{2} - 6 λ - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.4.1

Вынесем множитель $λ - 1$ из $17 λ (λ - 1)$ .

$(λ - 1) (17 λ) + (λ - 1) (λ^{3} - 6 λ^{2} - 6 λ - 6) = 0$

Этап 1.7.1.4.2

Вынесем множитель $λ - 1$ из $(λ - 1) (17 λ) + (λ - 1) (λ^{3} - 6 λ^{2} - 6 λ - 6)$ .

$(λ - 1) (17 λ + λ^{3} - 6 λ^{2} - 6 λ - 6) = 0$

Этап 1.7.1.5

Вычтем $6 λ$ из $17 λ$ .

$(λ - 1) (λ^{3} - 6 λ^{2} + 11 λ - 6) = 0$

Этап 1.7.1.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.6.1

Перепишем $λ^{3} - 6 λ^{2} + 11 λ - 6$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.6.1.1

Разложим $λ^{3} - 6 λ^{2} + 11 λ - 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.6.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Этап 1.7.1.6.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Этап 1.7.1.6.1.1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.6.1.1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} - 6 \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 - 6$

Этап 1.7.1.6.1.1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 - 6 \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 - 6$

Этап 1.7.1.6.1.1.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 - 6 \cdot 1 + 11 \cdot 1 - 6$

Этап 1.7.1.6.1.1.3.4

Умножим $- 6$ на $1$ .

$1 - 6 + 11 \cdot 1 - 6$

Этап 1.7.1.6.1.1.3.5

Вычтем $6$ из $1$ .

$- 5 + 11 \cdot 1 - 6$

Этап 1.7.1.6.1.1.3.6

Умножим $11$ на $1$ .

$- 5 + 11 - 6$

Этап 1.7.1.6.1.1.3.7

Добавим $- 5$ и $11$ .

$6 - 6$

Этап 1.7.1.6.1.1.3.8

Вычтем $6$ из $6$ .

$0$

Этап 1.7.1.6.1.1.4

$\frac{λ^{3} - 6 λ^{2} + 11 λ - 6}{λ - 1}$

Этап 1.7.1.6.1.1.5

Разделим $λ^{3} - 6 λ^{2} + 11 λ - 6$ на $λ - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.6.1.1.5.1

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$11 λ$

$6$

Этап 1.7.1.6.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $λ^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$

Этап 1.7.1.6.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

Этап 1.7.1.6.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $λ^{3} - λ^{2}$ .

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

Этап 1.7.1.6.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$

Этап 1.7.1.6.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$11 λ$

Этап 1.7.1.6.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 5 λ^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$11 λ$

Этап 1.7.1.6.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$11 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$

Этап 1.7.1.6.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 5 λ^{2} + 5 λ$ .

				$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$11 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$5 λ$

Этап 1.7.1.6.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$11 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$5 λ$
							+	$6 λ$

Этап 1.7.1.6.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$11 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$5 λ$
							+	$6 λ$	-	$6$

Этап 1.7.1.6.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 λ$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$5 λ$	+	$6$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$11 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$5 λ$
							+	$6 λ$	-	$6$

Этап 1.7.1.6.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$	-	$5 λ$	+	$6$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$11 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$5 λ$
							+	$6 λ$	-	$6$
							+	$6 λ$	-	$6$

Этап 1.7.1.6.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 λ - 6$ .

				$λ^{2}$	-	$5 λ$	+	$6$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$11 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$5 λ$
							+	$6 λ$	-	$6$
							-	$6 λ$	+	$6$

Этап 1.7.1.6.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$	-	$5 λ$	+	$6$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$6$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$11 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$5 λ$
							+	$6 λ$	-	$6$
							-	$6 λ$	+	$6$
										$0$

Этап 1.7.1.6.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$λ^{2} - 5 λ + 6$

Этап 1.7.1.6.1.1.6

Запишем $λ^{3} - 6 λ^{2} + 11 λ - 6$ в виде набора множителей.

$(λ - 1) ((λ - 1) (λ^{2} - 5 λ + 6)) = 0$

Этап 1.7.1.6.1.2

Разложим $λ^{2} - 5 λ + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.6.1.2.1

Разложим $λ^{2} - 5 λ + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.6.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $- 5$ .

$- 3, - 2$

Этап 1.7.1.6.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(λ - 1) ((λ - 1) ((λ - 3) (λ - 2))) = 0$

Этап 1.7.1.6.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(λ - 1) ((λ - 1) (λ - 3) (λ - 2)) = 0$

Этап 1.7.1.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(λ - 1) (λ - 1) (λ - 3) (λ - 2) = 0$

Этап 1.7.1.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.7.1

Возведем $λ - 1$ в степень $1$ .

$(λ - 1) (λ - 1) (λ - 3) (λ - 2) = 0$

Этап 1.7.1.7.2

Возведем $λ - 1$ в степень $1$ .

$(λ - 1) (λ - 1) (λ - 3) (λ - 2) = 0$

Этап 1.7.1.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(λ - 1)}^{1 + 1} (λ - 3) (λ - 2) = 0$

Этап 1.7.1.7.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(λ - 1)}^{2} (λ - 3) (λ - 2) = 0$

Этап 1.7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(λ - 1)}^{2} = 0$

$λ - 3 = 0$

$λ - 2 = 0$

Этап 1.7.3

Приравняем ${(λ - 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Приравняем ${(λ - 1)}^{2}$ к $0$ .

${(λ - 1)}^{2} = 0$

Этап 1.7.3.2

Решим ${(λ - 1)}^{2} = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.2.1

Приравняем $λ - 1$ к $0$ .

$λ - 1 = 0$

Этап 1.7.3.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$λ = 1$

Этап 1.7.4

Приравняем $λ - 3$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Приравняем $λ - 3$ к $0$ .

$λ - 3 = 0$

Этап 1.7.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$λ = 3$

Этап 1.7.5

Приравняем $λ - 2$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Приравняем $λ - 2$ к $0$ .

$λ - 2 = 0$

Этап 1.7.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$λ = 2$

Этап 1.7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(λ - 1)}^{2} (λ - 3) (λ - 2) = 0$ верно.

$λ = 1, 3, 2$

Этап 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

Этап 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 5 - 0 & - 10 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 5 - 0 & - 10 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 5 - 0 & - 10 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.3

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 5 - 0 & - 10 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.4

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 5 - 0 & - 10 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.5

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - 1 & 5 - 0 & - 10 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.6

Вычтем $1$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 - 0 & - 10 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.7

Вычтем $0$ из $5$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.8

Вычтем $0$ из $- 10$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.9

Вычтем $0$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.10

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.11

Вычтем $1$ из $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 1 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.12

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.13

Вычтем $0$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.14

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.15

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.16

Вычтем $1$ из $3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Этап 3.3

Find the null space when $λ = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Swap $R_{3}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 1 & 2 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{- 10}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{2}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{2}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 2 - 2 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.4.2

Упростим $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 & 0 + 2 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.5.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} + 2 x_{4} = 0$

$x_{3} - 2 x_{4} = 0$

$0 = 0$

Этап 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 x_{4} \\ x_{2} \\ 2 x_{4} \\ x_{4} \end{array}]$

Этап 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{4} [\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}] + x_{2} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Этап 3.3.6

Write as a solution set.

${x_{4} [\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}] + x_{2} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] | x_{2}, x_{4} \in R}$

Этап 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Этап 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $- 3$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $- 3$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.3

Умножим $- 3$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.4

Умножим $- 3$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.5

Умножим $- 3$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.6

Умножим $- 3$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.7

Умножим $- 3$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.8

Умножим $- 3$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.9

Умножим $- 3$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.10

Умножим $- 3$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.11

Умножим $- 3$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.12

Умножим $- 3$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.13

Умножим $- 3$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.14

Умножим $- 3$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.15

Умножим $- 3$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.16

Умножим $- 3$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 1 - 3 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 3 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Этап 4.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем $3$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 3 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Этап 4.2.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 3 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Этап 4.2.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 3 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Этап 4.2.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 - 3 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Этап 4.2.3.5

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - 3 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Этап 4.2.3.6

Вычтем $3$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Этап 4.2.3.7

Добавим $5$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Этап 4.2.3.8

Добавим $- 10$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Этап 4.2.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Этап 4.2.3.10

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 - 3 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Этап 4.2.3.11

Вычтем $3$ из $2$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Этап 4.2.3.12

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Этап 4.2.3.13

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Этап 4.2.3.14

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Этап 4.2.3.15

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Этап 4.2.3.16

Вычтем $3$ из $3$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3

Find the null space when $λ = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & - 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3.2

Упростим $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 5 & - \frac{1}{2} \cdot - 10 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{5}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{5}{2} & 5 & 0 \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{5}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{5}{2} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{5}{2} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 & 1 + \frac{5}{2} \cdot 0 & - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot 1 & 5 + \frac{5}{2} \cdot 0 & 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.6.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} = 0$

$x_{2} + 5 x_{4} = 0$

$x_{3} = 0$

$0 = 0$

Этап 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ - 5 x_{4} \\ 0 \\ x_{4} \end{array}]$

Этап 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ - 5 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Этап 4.3.6

Write as a solution set.

${x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ - 5 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | x_{4} \in R}$

Этап 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ - 5 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- 2$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.3

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.4

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.5

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.7

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.8

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.9

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.10

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.11

Умножим $- 2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.12

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.13

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.14

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.15

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.16

Умножим $- 2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

Этап 5.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 1 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.5

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - 2 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.6

Вычтем $2$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 + 0 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.7

Добавим $5$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.8

Добавим $- 10$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.10

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.11

Вычтем $2$ из $2$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.12

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.13

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.14

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.15

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.16

Вычтем $2$ из $3$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 5.3

Find the null space when $λ = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 0 & - 0 & - 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 1 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.3.2

Упростим $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 5 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 5 & - - 10 & - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 5 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.5

Swap $R_{4}$ with $R_{3}$ to put a nonzero entry at $3, 4$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 5 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 10 R_{3}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 10 R_{3}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 10 \cdot 0 & 1 - 10 \cdot 0 & - 5 - 10 \cdot 0 & 10 - 10 \cdot 1 & 0 - 10 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.6.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} = 0$

$x_{2} - 5 x_{3} = 0$

$x_{4} = 0$

$0 = 0$

Этап 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 5 x_{3} \\ x_{3} \\ 0 \end{array}]$

Этап 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Этап 5.3.6

Write as a solution set.

${x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{3} \in R}$

Этап 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Этап 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ - 5 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$