Линейная алгебра Примеры

Найти собственные значения/собственное пространство [[0,4,10,0],[-1,4,5,0],[7,-14,2,0],[-12,24,6,2]]
Этап 1
Найдем собственные значения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Запишем формулу для построения характеристического уравнения .
Этап 1.2
Единичная матрица размера представляет собой квадратную матрицу с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.
Этап 1.3
Подставим известное значение в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Подставим вместо .
Этап 1.3.2
Подставим вместо .
Этап 1.4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.1
Умножим на каждый элемент матрицы.
Этап 1.4.1.2
Упростим каждый элемент матрицы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.2.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.2
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.2.2.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.2.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.3
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.2.3.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.3.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.4
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.2.4.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.4.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.5
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.2.5.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.5.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.6
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.7
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.2.7.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.7.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.8
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.2.8.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.8.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.9
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.2.9.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.9.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.10
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.2.10.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.10.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.11
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.12
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.2.12.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.12.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.13
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.2.13.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.13.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.14
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.2.14.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.14.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.15
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.2.15.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.15.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.16
Умножим на .
Этап 1.4.2
Сложим соответствующие элементы.
Этап 1.4.3
Simplify each element.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.3.1
Вычтем из .
Этап 1.4.3.2
Добавим и .
Этап 1.4.3.3
Добавим и .
Этап 1.4.3.4
Добавим и .
Этап 1.4.3.5
Добавим и .
Этап 1.4.3.6
Добавим и .
Этап 1.4.3.7
Добавим и .
Этап 1.4.3.8
Добавим и .
Этап 1.4.3.9
Добавим и .
Этап 1.4.3.10
Добавим и .
Этап 1.4.3.11
Добавим и .
Этап 1.4.3.12
Добавим и .
Этап 1.4.3.13
Добавим и .
Этап 1.5
Find the determinant.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in column by its cofactor and add.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Этап 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Этап 1.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Этап 1.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Этап 1.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Этап 1.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Этап 1.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Этап 1.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Этап 1.5.1.9
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Этап 1.5.1.10
Multiply element by its cofactor.
Этап 1.5.1.11
Add the terms together.
Этап 1.5.2
Умножим на .
Этап 1.5.3
Умножим на .
Этап 1.5.4
Умножим на .
Этап 1.5.5
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Этап 1.5.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Этап 1.5.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Этап 1.5.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Этап 1.5.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Этап 1.5.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Этап 1.5.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Этап 1.5.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Этап 1.5.5.1.9
Add the terms together.
Этап 1.5.5.2
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.2.1
Определитель матрицы можно найти, используя формулу .
Этап 1.5.5.2.2
Упростим определитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.2.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.2.2.1.1
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.2.2.1.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.5.5.2.2.1.1.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.5.5.2.2.1.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.5.5.2.2.1.2
Упростим и объединим подобные члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.2.2.1.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.2.2.1.2.1.1
Умножим на .
Этап 1.5.5.2.2.1.2.1.2
Умножим на .
Этап 1.5.5.2.2.1.2.1.3
Умножим на .
Этап 1.5.5.2.2.1.2.1.4
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.5.5.2.2.1.2.1.5
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.2.2.1.2.1.5.1
Перенесем .
Этап 1.5.5.2.2.1.2.1.5.2
Умножим на .
Этап 1.5.5.2.2.1.2.1.6
Умножим на .
Этап 1.5.5.2.2.1.2.1.7
Умножим на .
Этап 1.5.5.2.2.1.2.2
Вычтем из .
Этап 1.5.5.2.2.1.3
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.2.2.1.3.1
Умножим на .
Этап 1.5.5.2.2.1.3.2
Умножим на .
Этап 1.5.5.2.2.2
Добавим и .
Этап 1.5.5.2.2.3
Изменим порядок и .
Этап 1.5.5.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.3.1
Определитель матрицы можно найти, используя формулу .
Этап 1.5.5.3.2
Упростим определитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.3.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.3.2.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.5.5.3.2.1.2
Умножим на .
Этап 1.5.5.3.2.1.3
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.3.2.1.3.1
Умножим на .
Этап 1.5.5.3.2.1.3.2
Умножим на .
Этап 1.5.5.3.2.1.4
Умножим на .
Этап 1.5.5.3.2.2
Вычтем из .
Этап 1.5.5.4
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.4.1
Определитель матрицы можно найти, используя формулу .
Этап 1.5.5.4.2
Упростим определитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.4.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.4.2.1.1
Умножим на .
Этап 1.5.5.4.2.1.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.5.5.4.2.1.3
Умножим на .
Этап 1.5.5.4.2.1.4
Умножим на .
Этап 1.5.5.4.2.2
Вычтем из .
Этап 1.5.5.4.2.3
Изменим порядок и .
Этап 1.5.5.5
Упростим определитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.5.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.5.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.5.5.5.1.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.5.1.2.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.5.1.2.1.1
Перенесем .
Этап 1.5.5.5.1.2.1.2
Умножим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.5.1.2.1.2.1
Возведем в степень .
Этап 1.5.5.5.1.2.1.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.5.5.5.1.2.1.3
Добавим и .
Этап 1.5.5.5.1.2.2
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.5.5.5.1.2.3
Умножим на .
Этап 1.5.5.5.1.3
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.5.1.3.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.5.1.3.1.1
Перенесем .
Этап 1.5.5.5.1.3.1.2
Умножим на .
Этап 1.5.5.5.1.3.2
Умножим на .
Этап 1.5.5.5.1.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.5.5.5.1.5
Умножим на .
Этап 1.5.5.5.1.6
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.5.5.5.1.7
Умножим на .
Этап 1.5.5.5.1.8
Умножим на .
Этап 1.5.5.5.2
Вычтем из .
Этап 1.5.5.5.3
Добавим и .
Этап 1.5.5.5.4
Вычтем из .
Этап 1.5.6
Упростим определитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.6.1
Объединим противоположные члены в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.6.1.1
Добавим и .
Этап 1.5.6.1.2
Добавим и .
Этап 1.5.6.1.3
Добавим и .
Этап 1.5.6.2
Развернем , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.
Этап 1.5.6.3
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.6.3.1
Умножим на .
Этап 1.5.6.3.2
Умножим на .
Этап 1.5.6.3.3
Умножим на .
Этап 1.5.6.3.4
Умножим на .
Этап 1.5.6.3.5
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.5.6.3.6
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.6.3.6.1
Перенесем .
Этап 1.5.6.3.6.2
Умножим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.6.3.6.2.1
Возведем в степень .
Этап 1.5.6.3.6.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.5.6.3.6.3
Добавим и .
Этап 1.5.6.3.7
Умножим на .
Этап 1.5.6.3.8
Умножим на .
Этап 1.5.6.3.9
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.5.6.3.10
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.6.3.10.1
Перенесем .
Этап 1.5.6.3.10.2
Умножим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.6.3.10.2.1
Возведем в степень .
Этап 1.5.6.3.10.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.5.6.3.10.3
Добавим и .
Этап 1.5.6.3.11
Умножим на .
Этап 1.5.6.3.12
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.5.6.3.13
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.6.3.13.1
Перенесем .
Этап 1.5.6.3.13.2
Умножим на .
Этап 1.5.6.3.14
Умножим на .
Этап 1.5.6.3.15
Умножим на .
Этап 1.5.6.4
Вычтем из .
Этап 1.5.6.5
Добавим и .
Этап 1.5.6.6
Вычтем из .
Этап 1.5.6.7
Перенесем .
Этап 1.5.6.8
Перенесем .
Этап 1.5.6.9
Перенесем .
Этап 1.5.6.10
Изменим порядок и .
Этап 1.6
Примем характеристический многочлен равным , чтобы найти собственные значения .
Этап 1.7
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.7.1
Разложим левую часть уравнения на множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.7.1.1
Сопоставим все члены с членами бинома Ньютона.
Этап 1.7.1.2
Разложим на множители с помощью бинома Ньютона.
Этап 1.7.2
Приравняем к .
Этап 1.7.3
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.7.3.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.7.3.2
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.7.3.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 1.7.3.2.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.7.3.2.2.1
Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.
Этап 1.7.3.2.2.2
Разделим на .
Этап 1.7.3.2.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.7.3.2.3.1
Разделим на .
Этап 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Этап 3
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Подставим известные значения в формулу.
Этап 3.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.1.1
Умножим на каждый элемент матрицы.
Этап 3.2.1.2
Упростим каждый элемент матрицы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.1.2.1
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.2
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.3
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.4
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.5
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.6
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.7
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.8
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.9
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.10
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.11
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.12
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.13
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.14
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.15
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.16
Умножим на .
Этап 3.2.2
Сложим соответствующие элементы.
Этап 3.2.3
Simplify each element.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.3.1
Вычтем из .
Этап 3.2.3.2
Добавим и .
Этап 3.2.3.3
Добавим и .
Этап 3.2.3.4
Добавим и .
Этап 3.2.3.5
Добавим и .
Этап 3.2.3.6
Вычтем из .
Этап 3.2.3.7
Добавим и .
Этап 3.2.3.8
Добавим и .
Этап 3.2.3.9
Добавим и .
Этап 3.2.3.10
Добавим и .
Этап 3.2.3.11
Вычтем из .
Этап 3.2.3.12
Добавим и .
Этап 3.2.3.13
Добавим и .
Этап 3.2.3.14
Добавим и .
Этап 3.2.3.15
Добавим и .
Этап 3.2.3.16
Вычтем из .
Этап 3.3
Find the null space when .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Этап 3.3.2
Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Этап 3.3.2.1.2
Упростим .
Этап 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 3.3.2.2.2
Упростим .
Этап 3.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 3.3.2.3.2
Упростим .
Этап 3.3.2.4
Perform the row operation to make the entry at a .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.4.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 3.3.2.4.2
Упростим .
Этап 3.3.2.5
Swap with to put a nonzero entry at .
Этап 3.3.2.6
Multiply each element of by to make the entry at a .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.6.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Этап 3.3.2.6.2
Упростим .
Этап 3.3.2.7
Perform the row operation to make the entry at a .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.7.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 3.3.2.7.2
Упростим .
Этап 3.3.2.8
Perform the row operation to make the entry at a .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.8.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 3.3.2.8.2
Упростим .
Этап 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Этап 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Этап 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Этап 3.3.6
Write as a solution set.
Этап 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Этап 4
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.