Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 2

Единичная матрица размера $3$ представляет собой квадратную матрицу $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 2 - λ & 6 + 0 & - 7 + 0 \\ 3 + 0 & - 9 - λ & 10 + 0 \\ - 1 + 0 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $6$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 2 - λ & 6 & - 7 + 0 \\ 3 + 0 & - 9 - λ & 10 + 0 \\ - 1 + 0 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $- 7$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 2 - λ & 6 & - 7 \\ 3 + 0 & - 9 - λ & 10 + 0 \\ - 1 + 0 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.3

Добавим $3$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 2 - λ & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 - λ & 10 + 0 \\ - 1 + 0 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.4

Добавим $10$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 2 - λ & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 - λ & 10 \\ - 1 + 0 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.5

Добавим $- 1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 2 - λ & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 - λ & 10 \\ - 1 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.6

Добавим $3$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 2 - λ & 6 & - 7 \\ 3 & - 9 - λ & 10 \\ - 1 & 3 & - 3 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 9 - λ & 10 \\ 3 & - 3 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 2 - λ) | \begin{array}{c} - 9 - λ & 10 \\ 3 & - 3 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 2 - λ) | \begin{array}{c} - 9 - λ & 10 \\ 3 & - 3 - λ \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.2

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 9 - λ & 10 \\ 3 & - 3 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((- 9 - λ) (- 3 - λ) - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Развернем $(- 9 - λ) (- 3 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 9 (- 3 - λ) - λ (- 3 - λ) - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 9 \cdot - 3 - 9 (- λ) - λ (- 3 - λ) - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 9 \cdot - 3 - 9 (- λ) - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.1

Умножим $- 9$ на $- 3$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (27 - 9 (- λ) - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (27 + 9 λ - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (27 + 9 λ + 3 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (- 2 - λ) (27 + 9 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (27 + 9 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (27 + 9 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (27 + 9 λ + 3 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (27 + 9 λ + 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.2

Добавим $9 λ$ и $3 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (27 + 12 λ + λ^{2} - 3 \cdot 10) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.3

Умножим $- 3$ на $10$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (27 + 12 λ + λ^{2} - 30) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $30$ из $27$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (12 λ + λ^{2} - 3) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.2.2.3

Изменим порядок $12 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 3 & 10 \\ - 1 & - 3 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (3 (- 3 - λ) - (- 1 \cdot 10)) - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (3 \cdot - 3 + 3 (- λ) - (- 1 \cdot 10)) - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 9 + 3 (- λ) - (- 1 \cdot 10)) - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 9 - 3 λ - (- 1 \cdot 10)) - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.4

Умножим $- (- 1 \cdot 10)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $10$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 9 - 3 λ - - 10) - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.4.2

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 9 - 3 λ + 10) - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.3.2.2

Добавим $- 9$ и $10$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 3 λ + 1) - 7 | \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Этап 5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 3 & - 9 - λ \\ - 1 & 3 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (3 \cdot 3 - - (- 9 - λ))$

Этап 5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (9 - - (- 9 - λ))$

Этап 5.4.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (9 - (- - 9 - - λ))$

Этап 5.4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (9 - (9 - - λ))$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим $- - λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (9 - (9 + 1 λ))$

Этап 5.4.2.1.4.2

Умножим $λ$ на $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (9 - (9 + λ))$

Этап 5.4.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (9 - 1 \cdot 9 - λ)$

Этап 5.4.2.1.6

Умножим $- 1$ на $9$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (9 - 9 - λ)$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (0 - λ)$

Этап 5.4.2.3

Вычтем $λ$ из $0$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3) - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Этап 5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Развернем $(- 2 - λ) (λ^{2} + 12 λ - 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 2 (12 λ) - 2 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (12 λ) - λ \cdot - 3 - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Этап 5.5.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Умножим $12$ на $- 2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 24 λ - 2 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (12 λ) - λ \cdot - 3 - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Этап 5.5.1.2.2

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 24 λ + 6 - λ \cdot λ^{2} - λ (12 λ) - λ \cdot - 3 - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Этап 5.5.1.2.3

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.3.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 24 λ + 6 - (λ^{2} λ) - λ (12 λ) - λ \cdot - 3 - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Этап 5.5.1.2.3.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.3.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 24 λ + 6 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (12 λ) - λ \cdot - 3 - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Этап 5.5.1.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 24 λ + 6 - λ^{2 + 1} - λ (12 λ) - λ \cdot - 3 - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Этап 5.5.1.2.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 24 λ + 6 - λ^{3} - λ (12 λ) - λ \cdot - 3 - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Этап 5.5.1.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 24 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot 12 λ \cdot λ - λ \cdot - 3 - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Этап 5.5.1.2.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 24 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot 12 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 3 - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Этап 5.5.1.2.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 24 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot 12 λ^{2} - λ \cdot - 3 - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Этап 5.5.1.2.6

Умножим $- 1$ на $12$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 24 λ + 6 - λ^{3} - 12 λ^{2} - λ \cdot - 3 - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Этап 5.5.1.2.7

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 24 λ + 6 - λ^{3} - 12 λ^{2} + 3 λ - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Этап 5.5.1.3

Вычтем $12 λ^{2}$ из $- 2 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 24 λ + 6 - λ^{3} + 3 λ - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Этап 5.5.1.4

Добавим $- 24 λ$ и $3 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 21 λ + 6 - λ^{3} - 6 (- 3 λ + 1) - 7 (- λ)$

Этап 5.5.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 21 λ + 6 - λ^{3} - 6 (- 3 λ) - 6 \cdot 1 - 7 (- λ)$

Этап 5.5.1.6

Умножим $- 3$ на $- 6$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 21 λ + 6 - λ^{3} + 18 λ - 6 \cdot 1 - 7 (- λ)$

Этап 5.5.1.7

Умножим $- 6$ на $1$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 21 λ + 6 - λ^{3} + 18 λ - 6 - 7 (- λ)$

Этап 5.5.1.8

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 21 λ + 6 - λ^{3} + 18 λ - 6 + 7 λ$

Этап 5.5.2

Объединим противоположные члены в $- 14 λ^{2} - 21 λ + 6 - λ^{3} + 18 λ - 6 + 7 λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $6$ из $6$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 21 λ - λ^{3} + 18 λ + 0 + 7 λ$

Этап 5.5.2.2

Добавим $- 14 λ^{2} - 21 λ - λ^{3} + 18 λ$ и $0$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 21 λ - λ^{3} + 18 λ + 7 λ$

Этап 5.5.3

Добавим $- 21 λ$ и $18 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - λ^{3} - 3 λ + 7 λ$

Этап 5.5.4

Добавим $- 3 λ$ и $7 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - λ^{3} + 4 λ$

Этап 5.5.5

Изменим порядок $- 14 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 14 λ^{2} + 4 λ$