Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$

Этап 1.2

Единичная матрица размера $2$ представляет собой квадратную матрицу $2 \times 2$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] - λ I_{2})$

Этап 1.3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{2}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ - 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Добавим $- 2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ - 2 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 1.5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - λ) - (- 2 \cdot 1)$

Этап 1.5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Развернем $(1 - λ) (4 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 1 (4 - λ) - λ (4 - λ) - (- 2 \cdot 1)$

Этап 1.5.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ (4 - λ) - (- 2 \cdot 1)$

Этап 1.5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 1)$

Этап 1.5.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.2.1.1

Умножим $4$ на $1$ .

$p (λ) = 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 1)$

Этап 1.5.2.1.2.1.2

Умножим $- λ$ на $1$ .

$p (λ) = 4 - λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 1)$

Этап 1.5.2.1.2.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - λ (- λ) - (- 2 \cdot 1)$

Этап 1.5.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 2 \cdot 1)$

Этап 1.5.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 2 \cdot 1)$

Этап 1.5.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 2 \cdot 1)$

Этап 1.5.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + 1 λ^{2} - (- 2 \cdot 1)$

Этап 1.5.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot 1)$

Этап 1.5.2.1.2.2

Вычтем $4 λ$ из $- λ$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot 1)$

Этап 1.5.2.1.3

Умножим $- (- 2 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.3.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - - 2$

Этап 1.5.2.1.3.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} + 2$

Этап 1.5.2.2

Добавим $4$ и $2$ .

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} + 6$

Этап 1.5.2.3

Изменим порядок $- 5 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 6$

Этап 1.6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$λ^{2} - 5 λ + 6 = 0$

Этап 1.7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Разложим $λ^{2} - 5 λ + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $- 5$ .

$- 3, - 2$

Этап 1.7.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(λ - 3) (λ - 2) = 0$

Этап 1.7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$λ - 3 = 0$

$λ - 2 = 0$

Этап 1.7.3

Приравняем $λ - 3$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Приравняем $λ - 3$ к $0$ .

$λ - 3 = 0$

Этап 1.7.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$λ = 3$

Этап 1.7.4

Приравняем $λ - 2$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Приравняем $λ - 2$ к $0$ .

$λ - 2 = 0$

Этап 1.7.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$λ = 2$

Этап 1.7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(λ - 3) (λ - 2) = 0$ верно.

$λ = 3, 2$

Этап 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Этап 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $- 3$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $- 3$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.3

Умножим $- 3$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \end{array}]$

Этап 3.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 1 - 3 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Этап 3.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $3$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Этап 3.2.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 2 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Этап 3.2.3.3

Добавим $- 2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 2 & 4 - 3 \end{array}]$

Этап 3.2.3.4

Вычтем $3$ из $4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array}]$

Этап 3.3

Find the null space when $λ = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 (- \frac{1}{2}) & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1}{2} y = 0$

$0 = 0$

Этап 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{2} \\ y \end{array}]$

Этап 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

Этап 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Этап 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

Этап 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $- 2$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.3

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 1 - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & 4 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & 4 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 + 0 & 4 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.3

Добавим $- 2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 & 4 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.4

Вычтем $2$ из $4$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 & 2 \end{array}]$

Этап 4.3

Find the null space when $λ = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 & 0 \\ - 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ - 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 2 + 2 \cdot - 1 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Этап 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Этап 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Этап 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Этап 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$