Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 2

Единичная матрица размера $3$ представляет собой квадратную матрицу $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 9 - λ & 18 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 9 - λ & 18 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 \\ - 3 + 0 & 9 - λ & 18 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.3

Добавим $- 3$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 \\ - 3 & 9 - λ & 18 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.4

Добавим $18$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 \\ - 3 & 9 - λ & 18 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.5

Добавим $2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 \\ - 3 & 9 - λ & 18 \\ 2 & - 3 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.6

Добавим $- 3$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 \\ - 3 & 9 - λ & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 - λ & 18 \\ - 3 & - 6 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 18 \\ - 3 & - 6 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 18 \\ 2 & - 6 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 18 \\ 2 & - 6 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 9 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 9 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 18 \\ - 3 & - 6 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 18 \\ 2 & - 6 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 9 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} - 3 & 18 \\ 2 & - 6 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 18 \\ - 3 & - 6 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 9 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} - 3 & 9 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 18 \\ - 3 & - 6 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 9 - λ & 18 \\ - 3 & - 6 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((9 - λ) (- 6 - λ) - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Этап 5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Развернем $(9 - λ) (- 6 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (3 - λ) (9 (- 6 - λ) - λ (- 6 - λ) - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (3 - λ) (9 \cdot - 6 + 9 (- λ) - λ (- 6 - λ) - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (3 - λ) (9 \cdot - 6 + 9 (- λ) - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.2.1.1

Умножим $9$ на $- 6$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 54 + 9 (- λ) - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 54 - 9 λ - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.3

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 54 - 9 λ + 6 λ - λ (- λ) - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (3 - λ) (- 54 - 9 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 54 - 9 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 54 - 9 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 54 - 9 λ + 6 λ + 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 54 - 9 λ + 6 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.2.2

Добавим $- 9 λ$ и $6 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 54 - 3 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.3

Умножим $- (- 3 \cdot 18)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.3.1

Умножим $- 3$ на $18$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 54 - 3 λ + λ^{2} - - 54) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.3.2

Умножим $- 1$ на $- 54$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 54 - 3 λ + λ^{2} + 54) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.2

Объединим противоположные члены в $- 54 - 3 λ + λ^{2} + 54$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Добавим $- 54$ и $54$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 3 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.2.2

Добавим $- 3 λ + λ^{2}$ и $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 3 λ + λ^{2}) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.3

Изменим порядок $- 3 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 3 λ) + 0 + 0$

Этап 5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Объединим противоположные члены в $(3 - λ) (λ^{2} - 3 λ) + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Добавим $(3 - λ) (λ^{2} - 3 λ)$ и $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 3 λ) + 0$

Этап 5.5.1.2

Добавим $(3 - λ) (λ^{2} - 3 λ)$ и $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 3 λ)$

Этап 5.5.2

Развернем $(3 - λ) (λ^{2} - 3 λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 3 (λ^{2} - 3 λ) - λ (λ^{2} - 3 λ)$

Этап 5.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 3 (- 3 λ) - λ (λ^{2} - 3 λ)$

Этап 5.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 3 (- 3 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ)$

Этап 5.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Умножим $- 3$ на $3$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 9 λ - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ)$

Этап 5.5.3.1.2

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.2.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 9 λ - (λ^{2} λ) - λ (- 3 λ)$

Этап 5.5.3.1.2.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.2.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 9 λ - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 3 λ)$

Этап 5.5.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = 3 λ^{2} - 9 λ - λ^{2 + 1} - λ (- 3 λ)$

Этап 5.5.3.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 9 λ - λ^{3} - λ (- 3 λ)$

Этап 5.5.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 3 λ^{2} - 9 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ$

Этап 5.5.3.1.4

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.4.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 9 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 3 (λ \cdot λ)$

Этап 5.5.3.1.4.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 9 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ^{2}$

Этап 5.5.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 9 λ - λ^{3} + 3 λ^{2}$

Этап 5.5.3.2

Добавим $3 λ^{2}$ и $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 9 λ - λ^{3}$

Этап 5.5.4

Перенесем $- 9 λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - λ^{3} - 9 λ$

Этап 5.5.5

Изменим порядок $6 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ = 0$

Этап 7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $- λ$ из $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Вынесем множитель $- λ$ из $- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} + 6 λ^{2} - 9 λ = 0$

Этап 7.1.1.2

Вынесем множитель $- λ$ из $6 λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - 9 λ = 0$

Этап 7.1.1.3

Вынесем множитель $- λ$ из $- 9 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 9 = 0$

Этап 7.1.1.4

Вынесем множитель $- λ$ из $- λ (λ^{2}) - λ (- 6 λ)$ .

$- λ (λ^{2} - 6 λ) - λ \cdot 9 = 0$

Этап 7.1.1.5

Вынесем множитель $- λ$ из $- λ (λ^{2} - 6 λ) - λ (9)$ .

$- λ (λ^{2} - 6 λ + 9) = 0$

Этап 7.1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- λ (λ^{2} - 6 λ + 3^{2}) = 0$

Этап 7.1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 λ = 2 \cdot λ \cdot 3$

Этап 7.1.2.3

Перепишем многочлен.

$- λ (λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Этап 7.1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = λ$ и $b = 3$ .

$- λ {(λ - 3)}^{2} = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$λ = 0$

${(λ - 3)}^{2} = 0$

Этап 7.3

Приравняем $λ$ к $0$ .

$λ = 0$

Этап 7.4

Приравняем ${(λ - 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем ${(λ - 3)}^{2}$ к $0$ .

${(λ - 3)}^{2} = 0$

Этап 7.4.2

Решим ${(λ - 3)}^{2} = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Приравняем $λ - 3$ к $0$ .

$λ - 3 = 0$

Этап 7.4.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$λ = 3$

Этап 7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $- λ {(λ - 3)}^{2} = 0$ верно.

$λ = 0, 3$