Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$

Этап 2

Единичная матрица размера $2$ представляет собой квадратную матрицу $2 \times 2$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] - λ I_{2})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{2}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 23 - λ & - 5 + 0 \\ 65 + 0 & - 7 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $- 5$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 23 - λ & - 5 \\ 65 + 0 & - 7 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $65$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 23 - λ & - 5 \\ 65 & - 7 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (23 - λ) (- 7 - λ) - 65 \cdot - 5$

Этап 5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Развернем $(23 - λ) (- 7 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 23 (- 7 - λ) - λ (- 7 - λ) - 65 \cdot - 5$

Этап 5.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 23 \cdot - 7 + 23 (- λ) - λ (- 7 - λ) - 65 \cdot - 5$

Этап 5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 23 \cdot - 7 + 23 (- λ) - λ \cdot - 7 - λ (- λ) - 65 \cdot - 5$

Этап 5.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.1

Умножим $23$ на $- 7$ .

$p (λ) = - 161 + 23 (- λ) - λ \cdot - 7 - λ (- λ) - 65 \cdot - 5$

Этап 5.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $23$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ - λ \cdot - 7 - λ (- λ) - 65 \cdot - 5$

Этап 5.2.1.2.1.3

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ - λ (- λ) - 65 \cdot - 5$

Этап 5.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 65 \cdot - 5$

Этап 5.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 65 \cdot - 5$

Этап 5.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 65 \cdot - 5$

Этап 5.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ + 1 λ^{2} - 65 \cdot - 5$

Этап 5.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ + λ^{2} - 65 \cdot - 5$

Этап 5.2.1.2.2

Добавим $- 23 λ$ и $7 λ$ .

$p (λ) = - 161 - 16 λ + λ^{2} - 65 \cdot - 5$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 65$ на $- 5$ .

$p (λ) = - 161 - 16 λ + λ^{2} + 325$

Этап 5.2.2

Добавим $- 161$ и $325$ .

$p (λ) = - 16 λ + λ^{2} + 164$

Этап 5.2.3

Изменим порядок $- 16 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 16 λ + 164$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$λ^{2} - 16 λ + 164 = 0$

Этап 7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 16$ и $c = 164$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $λ$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 164)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Возведем $- 16$ в степень $2$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 164}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 164$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 164}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $164$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 656}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.3

Вычтем $656$ из $256$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{- 400}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.4

Перепишем $- 400$ в виде $- 1 (400)$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 400}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (400)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{400}$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{400}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$λ = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{400}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.7

Перепишем $400$ в виде $20^{2}$ .

$λ = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{20^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$λ = \frac{16 \pm i \cdot 20}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.9

Перенесем $20$ влево от $i$ .

$λ = \frac{16 \pm 20 i}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$λ = \frac{16 \pm 20 i}{2}$

Этап 7.3.3

Упростим $\frac{16 \pm 20 i}{2}$ .

$λ = 8 \pm 10 i$

Этап 7.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$λ = 8 + 10 i, 8 - 10 i$