Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 2

Единичная матрица размера $3$ представляет собой квадратную матрицу $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 8 + 0 & - 20 + 0 \\ 2 + 0 & 2 - λ & - 10 + 0 \\ 2 + 0 & 4 + 0 & - 12 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $8$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 8 & - 20 + 0 \\ 2 + 0 & 2 - λ & - 10 + 0 \\ 2 + 0 & 4 + 0 & - 12 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $- 20$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 8 & - 20 \\ 2 + 0 & 2 - λ & - 10 + 0 \\ 2 + 0 & 4 + 0 & - 12 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.3

Добавим $2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 8 & - 20 \\ 2 & 2 - λ & - 10 + 0 \\ 2 + 0 & 4 + 0 & - 12 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.4

Добавим $- 10$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 8 & - 20 \\ 2 & 2 - λ & - 10 \\ 2 + 0 & 4 + 0 & - 12 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.5

Добавим $2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 8 & - 20 \\ 2 & 2 - λ & - 10 \\ 2 & 4 + 0 & - 12 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.6

Добавим $4$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 8 & - 20 \\ 2 & 2 - λ & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & - 10 \\ 4 & - 12 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & - 10 \\ 4 & - 12 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & - 10 \\ 4 & - 12 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 - λ & - 10 \\ 4 & - 12 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (- 12 - λ) - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Развернем $(2 - λ) (- 12 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (2 - λ) (2 (- 12 - λ) - λ (- 12 - λ) - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (2 - λ) (2 \cdot - 12 + 2 (- λ) - λ (- 12 - λ) - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (2 - λ) (2 \cdot - 12 + 2 (- λ) - λ \cdot - 12 - λ (- λ) - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.1

Умножим $2$ на $- 12$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 24 + 2 (- λ) - λ \cdot - 12 - λ (- λ) - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 24 - 2 λ - λ \cdot - 12 - λ (- λ) - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.3

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 24 - 2 λ + 12 λ - λ (- λ) - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (2 - λ) (- 24 - 2 λ + 12 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 24 - 2 λ + 12 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 24 - 2 λ + 12 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 24 - 2 λ + 12 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 24 - 2 λ + 12 λ + λ^{2} - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.2

Добавим $- 2 λ$ и $12 λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 24 + 10 λ + λ^{2} - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.3

Умножим $- 4$ на $- 10$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 24 + 10 λ + λ^{2} + 40) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 24$ и $40$ .

$p (λ) = (2 - λ) (10 λ + λ^{2} + 16) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.3

Изменим порядок $10 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (2 (- 12 - λ) - 2 \cdot - 10) - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (2 \cdot - 12 + 2 (- λ) - 2 \cdot - 10) - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.2

Умножим $2$ на $- 12$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (- 24 + 2 (- λ) - 2 \cdot - 10) - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (- 24 - 2 λ - 2 \cdot - 10) - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.4

Умножим $- 2$ на $- 10$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (- 24 - 2 λ + 20) - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.3.2.2

Добавим $- 24$ и $20$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (- 2 λ - 4) - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 \cdot 4 - 2 (2 - λ))$

Этап 5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Умножим $2$ на $4$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (8 - 2 (2 - λ))$

Этап 5.4.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (8 - 2 \cdot 2 - 2 (- λ))$

Этап 5.4.2.1.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (8 - 4 - 2 (- λ))$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (8 - 4 + 2 λ)$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $4$ из $8$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (4 + 2 λ)$

Этап 5.4.2.3

Изменим порядок $4$ и $2 λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

Этап 5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Развернем $(2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = 2 λ^{2} + 2 (10 λ) + 2 \cdot 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (10 λ) - λ \cdot 16 - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

Этап 5.5.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Умножим $10$ на $2$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} + 20 λ + 2 \cdot 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (10 λ) - λ \cdot 16 - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

Этап 5.5.1.2.2

Умножим $2$ на $16$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} + 20 λ + 32 - λ \cdot λ^{2} - λ (10 λ) - λ \cdot 16 - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

Этап 5.5.1.2.3

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.3.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} + 20 λ + 32 - (λ^{2} λ) - λ (10 λ) - λ \cdot 16 - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

Этап 5.5.1.2.3.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.3.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} + 20 λ + 32 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (10 λ) - λ \cdot 16 - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

Этап 5.5.1.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = 2 λ^{2} + 20 λ + 32 - λ^{2 + 1} - λ (10 λ) - λ \cdot 16 - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

Этап 5.5.1.2.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} + 20 λ + 32 - λ^{3} - λ (10 λ) - λ \cdot 16 - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

Этап 5.5.1.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 2 λ^{2} + 20 λ + 32 - λ^{3} - 1 \cdot 10 λ \cdot λ - λ \cdot 16 - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

Этап 5.5.1.2.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} + 20 λ + 32 - λ^{3} - 1 \cdot 10 (λ \cdot λ) - λ \cdot 16 - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

Этап 5.5.1.2.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} + 20 λ + 32 - λ^{3} - 1 \cdot 10 λ^{2} - λ \cdot 16 - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

Этап 5.5.1.2.6

Умножим $- 1$ на $10$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} + 20 λ + 32 - λ^{3} - 10 λ^{2} - λ \cdot 16 - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

Этап 5.5.1.2.7

Умножим $16$ на $- 1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} + 20 λ + 32 - λ^{3} - 10 λ^{2} - 16 λ - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

Этап 5.5.1.3

Вычтем $10 λ^{2}$ из $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 8 λ^{2} + 20 λ + 32 - λ^{3} - 16 λ - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

Этап 5.5.1.4

Вычтем $16 λ$ из $20 λ$ .

$p (λ) = - 8 λ^{2} + 4 λ + 32 - λ^{3} - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

Этап 5.5.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = - 8 λ^{2} + 4 λ + 32 - λ^{3} - 8 (- 2 λ) - 8 \cdot - 4 - 20 (2 λ + 4)$

Этап 5.5.1.6

Умножим $- 2$ на $- 8$ .

$p (λ) = - 8 λ^{2} + 4 λ + 32 - λ^{3} + 16 λ - 8 \cdot - 4 - 20 (2 λ + 4)$

Этап 5.5.1.7

Умножим $- 8$ на $- 4$ .

$p (λ) = - 8 λ^{2} + 4 λ + 32 - λ^{3} + 16 λ + 32 - 20 (2 λ + 4)$

Этап 5.5.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = - 8 λ^{2} + 4 λ + 32 - λ^{3} + 16 λ + 32 - 20 (2 λ) - 20 \cdot 4$

Этап 5.5.1.9

Умножим $2$ на $- 20$ .

$p (λ) = - 8 λ^{2} + 4 λ + 32 - λ^{3} + 16 λ + 32 - 40 λ - 20 \cdot 4$

Этап 5.5.1.10

Умножим $- 20$ на $4$ .

$p (λ) = - 8 λ^{2} + 4 λ + 32 - λ^{3} + 16 λ + 32 - 40 λ - 80$

Этап 5.5.2

Добавим $4 λ$ и $16 λ$ .

$p (λ) = - 8 λ^{2} + 20 λ + 32 - λ^{3} + 32 - 40 λ - 80$

Этап 5.5.3

Вычтем $40 λ$ из $20 λ$ .

$p (λ) = - 8 λ^{2} - 20 λ + 32 - λ^{3} + 32 - 80$

Этап 5.5.4

Добавим $32$ и $32$ .

$p (λ) = - 8 λ^{2} - 20 λ - λ^{3} + 64 - 80$

Этап 5.5.5

Вычтем $80$ из $64$ .

$p (λ) = - 8 λ^{2} - 20 λ - λ^{3} - 16$

Этап 5.5.6

Перенесем $- 20 λ$ .

$p (λ) = - 8 λ^{2} - λ^{3} - 20 λ - 16$

Этап 5.5.7

Изменим порядок $- 8 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 8 λ^{2} - 20 λ - 16$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$- λ^{3} - 8 λ^{2} - 20 λ - 16 = 0$

Этап 7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- λ^{3} - 8 λ^{2} - 20 λ - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- λ^{3}$ .

$- (λ^{3}) - 8 λ^{2} - 20 λ - 16 = 0$

Этап 7.1.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 λ^{2}$ .

$- (λ^{3}) - (8 λ^{2}) - 20 λ - 16 = 0$

Этап 7.1.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 20 λ$ .

$- (λ^{3}) - (8 λ^{2}) - (20 λ) - 16 = 0$

Этап 7.1.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$- (λ^{3}) - (8 λ^{2}) - (20 λ) - 1 \cdot 16 = 0$

Этап 7.1.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (λ^{3}) - (8 λ^{2})$ .

$- (λ^{3} + 8 λ^{2}) - (20 λ) - 1 \cdot 16 = 0$

Этап 7.1.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (λ^{3} + 8 λ^{2}) - (20 λ)$ .

$- (λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ) - 1 \cdot 16 = 0$

Этап 7.1.1.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ) - 1 (16)$ .

$- (λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ + 16) = 0$

Этап 7.1.2

Разложим $λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ + 16$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 7.1.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Этап 7.1.2.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

${(- 2)}^{3} + 8 {(- 2)}^{2} + 20 \cdot - 2 + 16$

Этап 7.1.2.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 + 8 {(- 2)}^{2} + 20 \cdot - 2 + 16$

Этап 7.1.2.3.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 8 + 8 \cdot 4 + 20 \cdot - 2 + 16$

Этап 7.1.2.3.4

Умножим $8$ на $4$ .

$- 8 + 32 + 20 \cdot - 2 + 16$

Этап 7.1.2.3.5

Добавим $- 8$ и $32$ .

$24 + 20 \cdot - 2 + 16$

Этап 7.1.2.3.6

Умножим $20$ на $- 2$ .

$24 - 40 + 16$

Этап 7.1.2.3.7

Вычтем $40$ из $24$ .

$- 16 + 16$

Этап 7.1.2.3.8

Добавим $- 16$ и $16$ .

$0$

Этап 7.1.2.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $λ + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ + 16}{λ + 2}$

Этап 7.1.2.5

Разделим $λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ + 16$ на $λ + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$8 λ^{2}$

$20 λ$

$16$

Этап 7.1.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $λ^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$

Этап 7.1.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

Этап 7.1.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $λ^{3} + 2 λ^{2}$ .

				$λ^{2}$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

Этап 7.1.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$6 λ^{2}$

Этап 7.1.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$6 λ^{2}$	+	$20 λ$

Этап 7.1.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 λ^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$6 λ$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$6 λ^{2}$	+	$20 λ$

Этап 7.1.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$	+	$6 λ$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$6 λ^{2}$	+	$20 λ$
					+	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$

Этап 7.1.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 λ^{2} + 12 λ$ .

				$λ^{2}$	+	$6 λ$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$6 λ^{2}$	+	$20 λ$
					-	$6 λ^{2}$	-	$12 λ$

Этап 7.1.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$	+	$6 λ$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$6 λ^{2}$	+	$20 λ$
					-	$6 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$8 λ$

Этап 7.1.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$λ^{2}$	+	$6 λ$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$6 λ^{2}$	+	$20 λ$
					-	$6 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$8 λ$	+	$16$

Этап 7.1.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 λ$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$6 λ$	+	$8$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$6 λ^{2}$	+	$20 λ$
					-	$6 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$8 λ$	+	$16$

Этап 7.1.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$	+	$6 λ$	+	$8$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$6 λ^{2}$	+	$20 λ$
					-	$6 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$8 λ$	+	$16$
							+	$8 λ$	+	$16$

Этап 7.1.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 λ + 16$ .

				$λ^{2}$	+	$6 λ$	+	$8$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$6 λ^{2}$	+	$20 λ$
					-	$6 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$8 λ$	+	$16$
							-	$8 λ$	-	$16$

Этап 7.1.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$	+	$6 λ$	+	$8$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$6 λ^{2}$	+	$20 λ$
					-	$6 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$8 λ$	+	$16$
							-	$8 λ$	-	$16$
										$0$

Этап 7.1.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$λ^{2} + 6 λ + 8$

Этап 7.1.2.6

Запишем $λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ + 16$ в виде набора множителей.

$- ((λ + 2) (λ^{2} + 6 λ + 8)) = 0$

Этап 7.1.3

Разложим $λ^{2} + 6 λ + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Разложим $λ^{2} + 6 λ + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $6$ .

$2, 4$

Этап 7.1.3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((λ + 2) ((λ + 2) (λ + 4))) = 0$

Этап 7.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- ((λ + 2) (λ + 2) (λ + 4)) = 0$

Этап 7.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1.1

Возведем $λ + 2$ в степень $1$ .

$- ((λ + 2) (λ + 2) (λ + 4)) = 0$

Этап 7.1.4.1.2

Возведем $λ + 2$ в степень $1$ .

$- ((λ + 2) (λ + 2) (λ + 4)) = 0$

Этап 7.1.4.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- ({(λ + 2)}^{1 + 1} (λ + 4)) = 0$

Этап 7.1.4.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- ({(λ + 2)}^{2} (λ + 4)) = 0$

Этап 7.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- {(λ + 2)}^{2} (λ + 4) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(λ + 2)}^{2} = 0$

$λ + 4 = 0$

Этап 7.3

Приравняем ${(λ + 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем ${(λ + 2)}^{2}$ к $0$ .

${(λ + 2)}^{2} = 0$

Этап 7.3.2

Решим ${(λ + 2)}^{2} = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Приравняем $λ + 2$ к $0$ .

$λ + 2 = 0$

Этап 7.3.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$λ = - 2$

Этап 7.4

Приравняем $λ + 4$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $λ + 4$ к $0$ .

$λ + 4 = 0$

Этап 7.4.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$λ = - 4$

Этап 7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $- {(λ + 2)}^{2} (λ + 4) = 0$ верно.

$λ = - 2, - 4$