Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 2

Единичная матрица размера $3$ представляет собой квадратную матрицу $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 6 - λ & - 4 + 0 & 10 + 0 \\ 2 + 0 & \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} + 0 \\ 6 + 0 & 4 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $- 4$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 6 - λ & - 4 & 10 + 0 \\ 2 + 0 & \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} + 0 \\ 6 + 0 & 4 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $10$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 6 - λ & - 4 & 10 \\ 2 + 0 & \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} + 0 \\ 6 + 0 & 4 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.3

Добавим $2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 6 - λ & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} + 0 \\ 6 + 0 & 4 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.4

Добавим $- \frac{10}{3}$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 6 - λ & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} \\ 6 + 0 & 4 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.5

Добавим $6$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 6 - λ & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.6

Добавим $4$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 6 - λ & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} \\ 4 & 10 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 6 - λ) | \begin{array}{c} \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} \\ 4 & 10 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 6 - λ) | \begin{array}{c} \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} \\ 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2

Найдем значение $| \begin{array}{c} \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} \\ 4 & 10 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) ((\frac{4}{3} - λ) (10 - λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Развернем $(\frac{4}{3} - λ) (10 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{4}{3} (10 - λ) - λ (10 - λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{4}{3} \cdot 10 + \frac{4}{3} (- λ) - λ (10 - λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{4}{3} \cdot 10 + \frac{4}{3} (- λ) - λ \cdot 10 - λ (- λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.1

Умножим $\frac{4}{3} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.1.1

Объединим $\frac{4}{3}$ и $10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{4 \cdot 10}{3} + \frac{4}{3} (- λ) - λ \cdot 10 - λ (- λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.1.2

Умножим $4$ на $10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} + \frac{4}{3} (- λ) - λ \cdot 10 - λ (- λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.2

Объединим $\frac{4}{3}$ и $λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - λ \cdot 10 - λ (- λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.3

Умножим $10$ на $- 1$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - 10 λ - λ (- λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - 10 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - 10 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - 10 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - 10 λ + 1 λ^{2} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - 10 λ + λ^{2} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.2

Чтобы записать $- 10 λ$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - 10 λ \cdot \frac{3}{3} + λ^{2} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.3

Объединим $- 10 λ$ и $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} + \frac{- 10 λ \cdot 3}{3} + λ^{2} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} + \frac{- 4 λ - 10 λ \cdot 3}{3} + λ^{2} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40 - 4 λ - 10 λ \cdot 3}{3} + λ^{2} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.6

Чтобы записать $λ^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40 - 4 λ - 10 λ \cdot 3}{3} + λ^{2} \cdot \frac{3}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.7

Объединим $λ^{2}$ и $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40 - 4 λ - 10 λ \cdot 3}{3} + \frac{λ^{2} \cdot 3}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40 - 4 λ - 10 λ \cdot 3 + λ^{2} \cdot 3}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.1

Умножим $3$ на $- 10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40 - 4 λ - 30 λ + λ^{2} \cdot 3}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.3.2

Перенесем $3$ влево от $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40 - 4 λ - 30 λ + 3 \cdot λ^{2}}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.3.3

Вычтем $30 λ$ из $- 4 λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40 - 34 λ + 3 λ^{2}}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.3.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.4.1

Изменим порядок членов.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{3 λ^{2} - 34 λ + 40}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.3.4.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 40 = 120$ , а сумма — $b = - 34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.4.2.1

Вынесем множитель $- 34$ из $- 34 λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{3 λ^{2} - 34 (λ) + 40}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.3.4.2.2

Запишем $- 34$ как $- 4$ плюс $- 30$

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{3 λ^{2} + (- 4 - 30) λ + 40}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.3.4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{3 λ^{2} - 4 λ - 30 λ + 40}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.3.4.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.4.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{(3 λ^{2} - 4 λ) - 30 λ + 40}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.3.4.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{λ (3 λ - 4) - 10 (3 λ - 4)}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.3.4.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 λ - 4$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{(3 λ - 4) (λ - 10)}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.4

Умножим $- 4 (- \frac{10}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{(3 λ - 4) (λ - 10)}{3} + 4 (\frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.4.2

Объединим $4$ и $\frac{10}{3}$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{(3 λ - 4) (λ - 10)}{3} + \frac{4 \cdot 10}{3}) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.4.3

Умножим $4$ на $10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{(3 λ - 4) (λ - 10)}{3} + \frac{40}{3}) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 4) (λ - 10) + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Развернем $(3 λ - 4) (λ - 10)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ (λ - 10) - 4 (λ - 10) + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ \cdot λ + 3 λ \cdot - 10 - 4 (λ - 10) + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ \cdot λ + 3 λ \cdot - 10 - 4 λ - 4 \cdot - 10 + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.2.1.1

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.2.1.1.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 (λ \cdot λ) + 3 λ \cdot - 10 - 4 λ - 4 \cdot - 10 + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.3.2.1.1.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} + 3 λ \cdot - 10 - 4 λ - 4 \cdot - 10 + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.3.2.1.2

Умножим $- 10$ на $3$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} - 30 λ - 4 λ - 4 \cdot - 10 + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.3.2.1.3

Умножим $- 4$ на $- 10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} - 30 λ - 4 λ + 40 + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.3.2.2

Вычтем $4 λ$ из $- 30 λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} - 34 λ + 40 + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.4

Добавим $40$ и $40$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} - 34 λ + 80}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 80 = 240$ , а сумма — $b = - 34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.1.1

Вынесем множитель $- 34$ из $- 34 λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} - 34 (λ) + 80}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.5.1.2

Запишем $- 34$ как $- 10$ плюс $- 24$

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} + (- 10 - 24) λ + 80}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} - 10 λ - 24 λ + 80}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ^{2} - 10 λ) - 24 λ + 80}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{λ (3 λ - 10) - 8 (3 λ - 10)}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 λ - 10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (2 (10 - λ) - 6 (- \frac{10}{3})) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (2 \cdot 10 + 2 (- λ) - 6 (- \frac{10}{3})) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.2

Умножим $2$ на $10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (20 + 2 (- λ) - 6 (- \frac{10}{3})) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (20 - 2 λ - 6 (- \frac{10}{3})) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{10}{3}$ в числитель.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (20 - 2 λ - 6 (\frac{- 10}{3})) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.4.2

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (20 - 2 λ + 3 (- 2) \frac{- 10}{3}) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (20 - 2 λ + 3 \cdot - 2 \frac{- 10}{3}) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (20 - 2 λ - 2 \cdot - 10) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.5

Умножим $- 2$ на $- 10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (20 - 2 λ + 20) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.3.2.2

Добавим $20$ и $20$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Этап 5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (2 \cdot 4 - 6 (\frac{4}{3} - λ))$

Этап 5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Умножим $2$ на $4$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (8 - 6 (\frac{4}{3} - λ))$

Этап 5.4.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (8 - 6 (\frac{4}{3}) - 6 (- λ))$

Этап 5.4.2.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (8 + 3 (- 2) \frac{4}{3} - 6 (- λ))$

Этап 5.4.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (8 + 3 \cdot - 2 \frac{4}{3} - 6 (- λ))$

Этап 5.4.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (8 - 2 \cdot 4 - 6 (- λ))$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим $- 2$ на $4$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (8 - 8 - 6 (- λ))$

Этап 5.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (8 - 8 + 6 λ)$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $8$ из $8$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (0 + 6 λ)$

Этап 5.4.2.3

Добавим $0$ и $6 λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = - 6 \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} - λ \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$p (λ) = 3 (- 2) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} - λ \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.2.2

Сократим общий множитель.

$p (λ) = 3 \cdot - 2 \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} - λ \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.2.3

Перепишем это выражение.

$p (λ) = - 2 ((3 λ - 10) (λ - 8)) - λ \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.3

Объединим $\frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3}$ и $λ$ .

$p (λ) = - 2 ((3 λ - 10) (λ - 8)) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.4.1

Развернем $(3 λ - 10) (λ - 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = - 2 (3 λ (λ - 8) - 10 (λ - 8)) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = - 2 (3 λ \cdot λ + 3 λ \cdot - 8 - 10 (λ - 8)) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = - 2 (3 λ \cdot λ + 3 λ \cdot - 8 - 10 λ - 10 \cdot - 8) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.4.2.1.1

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.4.2.1.1.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = - 2 (3 (λ \cdot λ) + 3 λ \cdot - 8 - 10 λ - 10 \cdot - 8) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.4.2.1.1.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = - 2 (3 λ^{2} + 3 λ \cdot - 8 - 10 λ - 10 \cdot - 8) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.4.2.1.2

Умножим $- 8$ на $3$ .

$p (λ) = - 2 (3 λ^{2} - 24 λ - 10 λ - 10 \cdot - 8) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.4.2.1.3

Умножим $- 10$ на $- 8$ .

$p (λ) = - 2 (3 λ^{2} - 24 λ - 10 λ + 80) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.4.2.2

Вычтем $10 λ$ из $- 24 λ$ .

$p (λ) = - 2 (3 λ^{2} - 34 λ + 80) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = - 2 (3 λ^{2}) - 2 (- 34 λ) - 2 \cdot 80 - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.4.4.1

Умножим $3$ на $- 2$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 2 (- 34 λ) - 2 \cdot 80 - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.4.4.2

Умножим $- 34$ на $- 2$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} + 68 λ - 2 \cdot 80 - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.4.4.3

Умножим $- 2$ на $80$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} + 68 λ - 160 - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.5

Чтобы записать $- 6 λ^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 - 6 λ^{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.6

Объединим $- 6 λ^{2}$ и $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{- 6 λ^{2} \cdot 3}{3} - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{- 6 λ^{2} \cdot 3 - (3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.8.1

Вынесем множитель $λ$ из $- 6 λ^{2} \cdot 3 - (3 λ - 10) (λ - 8) λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.8.1.1

Вынесем множитель $λ$ из $- 6 λ^{2} \cdot 3$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 6 λ \cdot 3) - (3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.8.1.2

Вынесем множитель $λ$ из $- (3 λ - 10) (λ - 8) λ$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 6 λ \cdot 3) + λ (- (3 λ - 10) (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.8.1.3

Вынесем множитель $λ$ из $λ (- 6 λ \cdot 3) + λ (- (3 λ - 10) (λ - 8))$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 6 λ \cdot 3 - (3 λ - 10) (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.8.2

Умножим $3$ на $- 6$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - (3 λ - 10) (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ + (- (3 λ) - - 10) (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.8.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ + (- 3 λ - - 10) (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.8.5

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ + (- 3 λ + 10) (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.8.6

Развернем $(- 3 λ + 10) (λ - 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.8.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 λ (λ - 8) + 10 (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.8.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 λ \cdot λ - 3 λ \cdot - 8 + 10 (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.8.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 λ \cdot λ - 3 λ \cdot - 8 + 10 λ + 10 \cdot - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.8.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.8.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.8.7.1.1

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.8.7.1.1.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 (λ \cdot λ) - 3 λ \cdot - 8 + 10 λ + 10 \cdot - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.8.7.1.1.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 λ^{2} - 3 λ \cdot - 8 + 10 λ + 10 \cdot - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.8.7.1.2

Умножим $- 8$ на $- 3$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 λ^{2} + 24 λ + 10 λ + 10 \cdot - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.8.7.1.3

Умножим $10$ на $- 8$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 λ^{2} + 24 λ + 10 λ - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.8.7.2

Добавим $24 λ$ и $10 λ$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 λ^{2} + 34 λ - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.8.8

Добавим $- 18 λ$ и $34 λ$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.9

Чтобы записать $68 λ$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = 68 λ \cdot \frac{3}{3} + \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ - 80)}{3} - 160 + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.10

Объединим $68 λ$ и $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{68 λ \cdot 3}{3} + \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ - 80)}{3} - 160 + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$p (λ) = \frac{68 λ \cdot 3 + λ (- 3 λ^{2} + 16 λ - 80)}{3} - 160 + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.12.1

Вынесем множитель $λ$ из $68 λ \cdot 3 + λ (- 3 λ^{2} + 16 λ - 80)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.12.1.1

Вынесем множитель $λ$ из $68 λ \cdot 3$ .

$p (λ) = \frac{λ (68 \cdot 3) + λ (- 3 λ^{2} + 16 λ - 80)}{3} - 160 + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.12.1.2

Вынесем множитель $λ$ из $λ (68 \cdot 3) + λ (- 3 λ^{2} + 16 λ - 80)$ .

$p (λ) = \frac{λ (68 \cdot 3 - 3 λ^{2} + 16 λ - 80)}{3} - 160 + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.12.2

Умножим $68$ на $3$ .

$p (λ) = \frac{λ (204 - 3 λ^{2} + 16 λ - 80)}{3} - 160 + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.12.3

Вычтем $80$ из $204$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 124)}{3} - 160 + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.13

Чтобы записать $- 160$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 124)}{3} - 160 \cdot \frac{3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.14

Объединим $- 160$ и $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 124)}{3} + \frac{- 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 124) - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2}) + λ (16 λ) + λ \cdot 124 - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.16.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.16.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = \frac{- 3 λ \cdot λ^{2} + λ (16 λ) + λ \cdot 124 - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.16.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = \frac{- 3 λ \cdot λ^{2} + 16 λ \cdot λ + λ \cdot 124 - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.16.2.3

Перенесем $124$ влево от $λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ \cdot λ^{2} + 16 λ \cdot λ + 124 \cdot λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.16.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.16.3.1

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.16.3.1.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = \frac{- 3 (λ^{2} λ) + 16 λ \cdot λ + 124 \cdot λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.16.3.1.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.16.3.1.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = \frac{- 3 (λ^{2} λ^{1}) + 16 λ \cdot λ + 124 \cdot λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.16.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{2 + 1} + 16 λ \cdot λ + 124 \cdot λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.16.3.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ \cdot λ + 124 \cdot λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.16.3.2

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.16.3.2.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 (λ \cdot λ) + 124 \cdot λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.16.3.2.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 \cdot λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.16.4

Умножим $- 160$ на $3$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.16.5

Перепишем $- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.16.5.1

Разложим $- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.16.5.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 480, \pm 2, \pm 240, \pm 3, \pm 160, \pm 4, \pm 120, \pm 5, \pm 96, \pm 6, \pm 80, \pm 8, \pm 60, \pm 10, \pm 48, \pm 12, \pm 40, \pm 15, \pm 32, \pm 16, \pm 30, \pm 20, \pm 24$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 5.5.1.16.5.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 480, \pm 160, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 240, \pm 80, \pm 3, \pm 53.\overline{3}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 120, \pm 40, \pm 5, \pm 1.\overline{6}, \pm 96, \pm 32, \pm 6, \pm 26.\overline{6}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 60, \pm 20, \pm 10, \pm 3.\overline{3}, \pm 48, \pm 16, \pm 12, \pm 13.\overline{3}, \pm 15, \pm 10.\overline{6}, \pm 5.\overline{3}, \pm 30, \pm 6.\overline{6}, \pm 24$

Этап 5.5.1.16.5.1.3

Подставим $- 6$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 6$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.16.5.1.3.1

Подставим $- 6$ в многочлен.

$- 3 {(- 6)}^{3} + 16 {(- 6)}^{2} + 124 \cdot - 6 - 480$

Этап 5.5.1.16.5.1.3.2

Возведем $- 6$ в степень $3$ .

$- 3 \cdot - 216 + 16 {(- 6)}^{2} + 124 \cdot - 6 - 480$

Этап 5.5.1.16.5.1.3.3

Умножим $- 3$ на $- 216$ .

$648 + 16 {(- 6)}^{2} + 124 \cdot - 6 - 480$

Этап 5.5.1.16.5.1.3.4

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$648 + 16 \cdot 36 + 124 \cdot - 6 - 480$

Этап 5.5.1.16.5.1.3.5

Умножим $16$ на $36$ .

$648 + 576 + 124 \cdot - 6 - 480$

Этап 5.5.1.16.5.1.3.6

Добавим $648$ и $576$ .

$1224 + 124 \cdot - 6 - 480$

Этап 5.5.1.16.5.1.3.7

Умножим $124$ на $- 6$ .

$1224 - 744 - 480$

Этап 5.5.1.16.5.1.3.8

Вычтем $744$ из $1224$ .

$480 - 480$

Этап 5.5.1.16.5.1.3.9

Вычтем $480$ из $480$ .

$0$

Этап 5.5.1.16.5.1.4

Поскольку $- 6$ — известный корень, разделим многочлен на $λ + 6$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480}{λ + 6}$

Этап 5.5.1.16.5.1.5

Разделим $- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480$ на $λ + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.16.5.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$λ$

$6$

$3 λ^{3}$

$16 λ^{2}$

$124 λ$

$480$

Этап 5.5.1.16.5.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 λ^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				-	$3 λ^{2}$
	$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$

Этап 5.5.1.16.5.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$3 λ^{2}$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			-	$3 λ^{3}$	-	$18 λ^{2}$

Этап 5.5.1.16.5.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 λ^{3} - 18 λ^{2}$ .

			-	$3 λ^{2}$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$

Этап 5.5.1.16.5.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$3 λ^{2}$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$

Этап 5.5.1.16.5.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$3 λ^{2}$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$

Этап 5.5.1.16.5.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $34 λ^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$

Этап 5.5.1.16.5.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					+	$34 λ^{2}$	+	$204 λ$

Этап 5.5.1.16.5.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $34 λ^{2} + 204 λ$ .

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					-	$34 λ^{2}$	-	$204 λ$

Этап 5.5.1.16.5.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					-	$34 λ^{2}$	-	$204 λ$
							-	$80 λ$

Этап 5.5.1.16.5.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					-	$34 λ^{2}$	-	$204 λ$
							-	$80 λ$	-	$480$

Этап 5.5.1.16.5.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 80 λ$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$	-	$80$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					-	$34 λ^{2}$	-	$204 λ$
							-	$80 λ$	-	$480$

Этап 5.5.1.16.5.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$	-	$80$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					-	$34 λ^{2}$	-	$204 λ$
							-	$80 λ$	-	$480$
							-	$80 λ$	-	$480$

Этап 5.5.1.16.5.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 80 λ - 480$ .

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$	-	$80$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					-	$34 λ^{2}$	-	$204 λ$
							-	$80 λ$	-	$480$
							+	$80 λ$	+	$480$

Этап 5.5.1.16.5.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$	-	$80$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					-	$34 λ^{2}$	-	$204 λ$
							-	$80 λ$	-	$480$
							+	$80 λ$	+	$480$
										$0$

Этап 5.5.1.16.5.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- 3 λ^{2} + 34 λ - 80$

Этап 5.5.1.16.5.1.6

Запишем $- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480$ в виде набора множителей.

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ^{2} + 34 λ - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.16.5.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.16.5.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 3 \cdot - 80 = 240$ , а сумма — $b = 34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.16.5.2.1.1

Вынесем множитель $34$ из $34 λ$ .

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ^{2} + 34 (λ) - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.16.5.2.1.2

Запишем $34$ как $10$ плюс $24$

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ^{2} + (10 + 24) λ - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.16.5.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ^{2} + 10 λ + 24 λ - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.16.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.16.5.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$p (λ) = \frac{(λ + 6) ((- 3 λ^{2} + 10 λ) + 24 λ - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.16.5.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (λ (- 3 λ + 10) - 8 (- 3 λ + 10))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.16.5.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 3 λ + 10$ .

$p (λ) = \frac{(λ + 6) ((- 3 λ + 10) (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.17

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ) + 4 \cdot 40 + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.18

Умножим $- 2$ на $4$ .

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8)}{3} - 8 λ + 4 \cdot 40 + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.19

Умножим $4$ на $40$ .

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8)}{3} - 8 λ + 160 + 10 (6 λ)$

Этап 5.5.1.20

Умножим $6$ на $10$ .

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8)}{3} - 8 λ + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.2

Чтобы записать $- 8 λ$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8)}{3} - 8 λ \cdot \frac{3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.3

Объединим $- 8 λ$ и $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8)}{3} + \frac{- 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Развернем $(λ + 6) (- 3 λ + 10)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = \frac{(λ (- 3 λ + 10) + 6 (- 3 λ + 10)) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = \frac{(λ (- 3 λ) + λ \cdot 10 + 6 (- 3 λ + 10)) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = \frac{(λ (- 3 λ) + λ \cdot 10 + 6 (- 3 λ) + 6 \cdot 10) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = \frac{(- 3 λ \cdot λ + λ \cdot 10 + 6 (- 3 λ) + 6 \cdot 10) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5.2.1.2

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.2.1.2.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = \frac{(- 3 (λ \cdot λ) + λ \cdot 10 + 6 (- 3 λ) + 6 \cdot 10) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5.2.1.2.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = \frac{(- 3 λ^{2} + λ \cdot 10 + 6 (- 3 λ) + 6 \cdot 10) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5.2.1.3

Перенесем $10$ влево от $λ$ .

$p (λ) = \frac{(- 3 λ^{2} + 10 \cdot λ + 6 (- 3 λ) + 6 \cdot 10) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5.2.1.4

Умножим $- 3$ на $6$ .

$p (λ) = \frac{(- 3 λ^{2} + 10 λ - 18 λ + 6 \cdot 10) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5.2.1.5

Умножим $6$ на $10$ .

$p (λ) = \frac{(- 3 λ^{2} + 10 λ - 18 λ + 60) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5.2.2

Вычтем $18 λ$ из $10 λ$ .

$p (λ) = \frac{(- 3 λ^{2} - 8 λ + 60) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5.3

Развернем $(- 3 λ^{2} - 8 λ + 60) (λ - 8)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{2} λ - 3 λ^{2} \cdot - 8 - 8 λ \cdot λ - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.4.1

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.4.1.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 (λ \cdot λ^{2}) - 3 λ^{2} \cdot - 8 - 8 λ \cdot λ - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5.4.1.2

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.4.1.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = \frac{- 3 (λ^{1} λ^{2}) - 3 λ^{2} \cdot - 8 - 8 λ \cdot λ - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{1 + 2} - 3 λ^{2} \cdot - 8 - 8 λ \cdot λ - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5.4.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} - 3 λ^{2} \cdot - 8 - 8 λ \cdot λ - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5.4.2

Умножим $- 8$ на $- 3$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 24 λ^{2} - 8 λ \cdot λ - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5.4.3

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.4.3.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 24 λ^{2} - 8 (λ \cdot λ) - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5.4.3.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 24 λ^{2} - 8 λ^{2} - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5.4.4

Умножим $- 8$ на $- 8$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 24 λ^{2} - 8 λ^{2} + 64 λ + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5.4.5

Умножим $60$ на $- 8$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 24 λ^{2} - 8 λ^{2} + 64 λ + 60 λ - 480 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5.5

Вычтем $8 λ^{2}$ из $24 λ^{2}$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 64 λ + 60 λ - 480 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5.6

Добавим $64 λ$ и $60 λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5.7

Умножим $3$ на $- 8$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480 - 24 λ}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.5.8

Вычтем $24 λ$ из $124 λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ - 480}{3} + 160 + 60 λ$

Этап 5.5.6

Чтобы записать $160$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ - 480}{3} + 160 \cdot \frac{3}{3} + 60 λ$

Этап 5.5.7

Объединим $160$ и $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ - 480}{3} + \frac{160 \cdot 3}{3} + 60 λ$

Этап 5.5.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ - 480 + 160 \cdot 3}{3} + 60 λ$

Этап 5.5.9

Умножим $160$ на $3$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ - 480 + 480}{3} + 60 λ$

Этап 5.5.10

Добавим $- 480$ и $480$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ + 0}{3} + 60 λ$

Этап 5.5.11

Добавим $- 3 λ^{3}$ и $0$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ}{3} + 60 λ$

Этап 5.5.12

Вынесем множитель $λ$ из $- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.12.1

Вынесем множитель $λ$ из $- 3 λ^{3}$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2}) + 16 λ^{2} + 100 λ}{3} + 60 λ$

Этап 5.5.12.2

Вынесем множитель $λ$ из $16 λ^{2}$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2}) + λ (16 λ) + 100 λ}{3} + 60 λ$

Этап 5.5.12.3

Вынесем множитель $λ$ из $100 λ$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2}) + λ (16 λ) + λ \cdot 100}{3} + 60 λ$

Этап 5.5.12.4

Вынесем множитель $λ$ из $λ (- 3 λ^{2}) + λ (16 λ)$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ) + λ \cdot 100}{3} + 60 λ$

Этап 5.5.12.5

Вынесем множитель $λ$ из $λ (- 3 λ^{2} + 16 λ) + λ \cdot 100$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100)}{3} + 60 λ$

Этап 5.5.13

Чтобы записать $60 λ$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100)}{3} + 60 λ \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.5.14

Объединим $60 λ$ и $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100)}{3} + \frac{60 λ \cdot 3}{3}$

Этап 5.5.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100) + 60 λ \cdot 3}{3}$

Этап 5.5.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.16.1

Вынесем множитель $λ$ из $λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100) + 60 λ \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.16.1.1

Вынесем множитель $λ$ из $60 λ \cdot 3$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100) + λ (60 \cdot 3)}{3}$

Этап 5.5.16.1.2

Вынесем множитель $λ$ из $λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100) + λ (60 \cdot 3)$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100 + 60 \cdot 3)}{3}$

Этап 5.5.16.2

Умножим $60$ на $3$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100 + 180)}{3}$

Этап 5.5.16.3

Добавим $100$ и $180$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 280)}{3}$

Этап 5.5.17

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 λ^{2}$ .

$p (λ) = \frac{λ (- (3 λ^{2}) + 16 λ + 280)}{3}$

Этап 5.5.18

Вынесем множитель $- 1$ из $16 λ$ .

$p (λ) = \frac{λ (- (3 λ^{2}) - (- 16 λ) + 280)}{3}$

Этап 5.5.19

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 λ^{2}) - (- 16 λ)$ .

$p (λ) = \frac{λ (- (3 λ^{2} - 16 λ) + 280)}{3}$

Этап 5.5.20

Перепишем $280$ в виде $- 1 (- 280)$ .

$p (λ) = \frac{λ (- (3 λ^{2} - 16 λ) - 1 (- 280))}{3}$

Этап 5.5.21

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 λ^{2} - 16 λ) - 1 (- 280)$ .

$p (λ) = \frac{λ (- (3 λ^{2} - 16 λ - 280))}{3}$

Этап 5.5.22

Перепишем $- (3 λ^{2} - 16 λ - 280)$ в виде $- 1 (3 λ^{2} - 16 λ - 280)$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 1 (3 λ^{2} - 16 λ - 280))}{3}$

Этап 5.5.23

Вынесем знак минуса перед дробью.

$p (λ) = - \frac{λ (3 λ^{2} - 16 λ - 280)}{3}$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$- \frac{λ (3 λ^{2} - 16 λ - 280)}{3} = 0$

Этап 7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем числитель к нулю.

$λ (3 λ^{2} - 16 λ - 280) = 0$

Этап 7.2

Решим уравнение относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$λ = 0$

$3 λ^{2} - 16 λ - 280 = 0$

Этап 7.2.2

Приравняем $λ$ к $0$ .

$λ = 0$

Этап 7.2.3

Приравняем $3 λ^{2} - 16 λ - 280$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Приравняем $3 λ^{2} - 16 λ - 280$ к $0$ .

$3 λ^{2} - 16 λ - 280 = 0$

Этап 7.2.3.2

Решим $3 λ^{2} - 16 λ - 280 = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.2.3.2.2

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 16$ и $c = - 280$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $λ$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 280)}}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.3.1.1

Возведем $- 16$ в степень $2$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 280}}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.3.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 280$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 280}}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.3.2.3.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 280$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 3360}}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.3.2.3.1.3

Добавим $256$ и $3360$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{3616}}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.3.2.3.1.4

Перепишем $3616$ в виде $4^{2} \cdot 226$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $3616$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{16 (226)}}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.3.2.3.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 226}}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.3.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$λ = \frac{16 \pm 4 \sqrt{226}}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.3.2.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$λ = \frac{16 \pm 4 \sqrt{226}}{6}$

Этап 7.2.3.2.3.3

Упростим $\frac{16 \pm 4 \sqrt{226}}{6}$ .

$λ = \frac{8 \pm 2 \sqrt{226}}{3}$

Этап 7.2.3.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$λ = \frac{8 + 2 \sqrt{226}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{226}}{3}$

Этап 7.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $λ (3 λ^{2} - 16 λ - 280) = 0$ верно.

$λ = 0, \frac{8 + 2 \sqrt{226}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{226}}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$λ = 0, \frac{8 + 2 \sqrt{226}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{226}}{3}$

Десятичная форма:

$λ = 0, 12.68886425 \dots, - 7.35553091 \dots$