Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 2

Единичная матрица размера $3$ представляет собой квадратную матрицу $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 6 & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 & 0 \\ 9 & 7 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 6 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 13 - λ & 0 + 0 \\ 9 + 0 & 7 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 6 - λ & 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 13 - λ & 0 + 0 \\ 9 + 0 & 7 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 6 - λ & 0 & 0 \\ - 5 + 0 & - 13 - λ & 0 + 0 \\ 9 + 0 & 7 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.3

Добавим $- 5$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 6 - λ & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 - λ & 0 + 0 \\ 9 + 0 & 7 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 6 - λ & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 - λ & 0 \\ 9 + 0 & 7 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.5

Добавим $9$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 6 - λ & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 - λ & 0 \\ 9 & 7 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.6

Добавим $7$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 6 - λ & 0 & 0 \\ - 5 & - 13 - λ & 0 \\ 9 & 7 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 13 - λ & 0 \\ 7 & 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(6 - λ) | \begin{array}{c} - 13 - λ & 0 \\ 7 & 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 9 & 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 9 & 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & - 13 - λ \\ 9 & 7 \end{array} |$

Этап 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 5 & - 13 - λ \\ 9 & 7 \end{array} |$

Этап 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (6 - λ) | \begin{array}{c} - 13 - λ & 0 \\ 7 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 9 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 5 & - 13 - λ \\ 9 & 7 \end{array} |$

Этап 5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 9 & 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (6 - λ) | \begin{array}{c} - 13 - λ & 0 \\ 7 & 4 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 5 & - 13 - λ \\ 9 & 7 \end{array} |$

Этап 5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} - 5 & - 13 - λ \\ 9 & 7 \end{array} |$ .

$p (λ) = (6 - λ) | \begin{array}{c} - 13 - λ & 0 \\ 7 & 4 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 13 - λ & 0 \\ 7 & 4 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((- 13 - λ) (4 - λ) - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Развернем $(- 13 - λ) (4 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (6 - λ) (- 13 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (6 - λ) (- 13 \cdot 4 - 13 (- λ) - λ (4 - λ) - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (6 - λ) (- 13 \cdot 4 - 13 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.2.1.1

Умножим $- 13$ на $4$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- 52 - 13 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 13$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- 52 + 13 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- 52 + 13 λ - 4 λ - λ (- λ) - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (6 - λ) (- 52 + 13 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- 52 + 13 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- 52 + 13 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- 52 + 13 λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- 52 + 13 λ - 4 λ + λ^{2} - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.2.2

Вычтем $4 λ$ из $13 λ$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- 52 + 9 λ + λ^{2} - 7 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.1.3

Умножим $- 7$ на $0$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- 52 + 9 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.2

Добавим $- 52 + 9 λ + λ^{2}$ и $0$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- 52 + 9 λ + λ^{2}) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.3

Перенесем $- 52$ .

$p (λ) = (6 - λ) (9 λ + λ^{2} - 52) + 0 + 0$

Этап 5.4.2.4

Изменим порядок $9 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (6 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 52) + 0 + 0$

Этап 5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Объединим противоположные члены в $(6 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 52) + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Добавим $(6 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 52)$ и $0$ .

$p (λ) = (6 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 52) + 0$

Этап 5.5.1.2

Добавим $(6 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 52)$ и $0$ .

$p (λ) = (6 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 52)$

Этап 5.5.2

Развернем $(6 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 52)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = 6 λ^{2} + 6 (9 λ) + 6 \cdot - 52 - λ \cdot λ^{2} - λ (9 λ) - λ \cdot - 52$

Этап 5.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Умножим $9$ на $6$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} + 54 λ + 6 \cdot - 52 - λ \cdot λ^{2} - λ (9 λ) - λ \cdot - 52$

Этап 5.5.3.2

Умножим $6$ на $- 52$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} + 54 λ - 312 - λ \cdot λ^{2} - λ (9 λ) - λ \cdot - 52$

Этап 5.5.3.3

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.3.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} + 54 λ - 312 - (λ^{2} λ) - λ (9 λ) - λ \cdot - 52$

Этап 5.5.3.3.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.3.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} + 54 λ - 312 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (9 λ) - λ \cdot - 52$

Этап 5.5.3.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = 6 λ^{2} + 54 λ - 312 - λ^{2 + 1} - λ (9 λ) - λ \cdot - 52$

Этап 5.5.3.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} + 54 λ - 312 - λ^{3} - λ (9 λ) - λ \cdot - 52$

Этап 5.5.3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 6 λ^{2} + 54 λ - 312 - λ^{3} - 1 \cdot 9 λ \cdot λ - λ \cdot - 52$

Этап 5.5.3.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} + 54 λ - 312 - λ^{3} - 1 \cdot 9 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 52$

Этап 5.5.3.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} + 54 λ - 312 - λ^{3} - 1 \cdot 9 λ^{2} - λ \cdot - 52$

Этап 5.5.3.6

Умножим $- 1$ на $9$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} + 54 λ - 312 - λ^{3} - 9 λ^{2} - λ \cdot - 52$

Этап 5.5.3.7

Умножим $- 52$ на $- 1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} + 54 λ - 312 - λ^{3} - 9 λ^{2} + 52 λ$

Этап 5.5.4

Вычтем $9 λ^{2}$ из $6 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} + 54 λ - 312 - λ^{3} + 52 λ$

Этап 5.5.5

Добавим $54 λ$ и $52 λ$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} + 106 λ - 312 - λ^{3}$

Этап 5.5.6

Перенесем $- 312$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} + 106 λ - λ^{3} - 312$

Этап 5.5.7

Перенесем $106 λ$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} - λ^{3} + 106 λ - 312$

Этап 5.5.8

Изменим порядок $- 3 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 3 λ^{2} + 106 λ - 312$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$- λ^{3} - 3 λ^{2} + 106 λ - 312 = 0$

Этап 7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Разложим $- λ^{3} - 3 λ^{2} + 106 λ - 312$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 312, \pm 2, \pm 156, \pm 3, \pm 104, \pm 4, \pm 78, \pm 6, \pm 52, \pm 8, \pm 39, \pm 12, \pm 26, \pm 13, \pm 24$

$q = \pm 1$

Этап 7.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 312, \pm 2, \pm 156, \pm 3, \pm 104, \pm 4, \pm 78, \pm 6, \pm 52, \pm 8, \pm 39, \pm 12, \pm 26, \pm 13, \pm 24$

Этап 7.1.1.3

Подставим $4$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $4$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1

Подставим $4$ в многочлен.

$- 4^{3} - 3 \cdot 4^{2} + 106 \cdot 4 - 312$

Этап 7.1.1.3.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$- 1 \cdot 64 - 3 \cdot 4^{2} + 106 \cdot 4 - 312$

Этап 7.1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $64$ .

$- 64 - 3 \cdot 4^{2} + 106 \cdot 4 - 312$

Этап 7.1.1.3.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- 64 - 3 \cdot 16 + 106 \cdot 4 - 312$

Этап 7.1.1.3.5

Умножим $- 3$ на $16$ .

$- 64 - 48 + 106 \cdot 4 - 312$

Этап 7.1.1.3.6

Вычтем $48$ из $- 64$ .

$- 112 + 106 \cdot 4 - 312$

Этап 7.1.1.3.7

Умножим $106$ на $4$ .

$- 112 + 424 - 312$

Этап 7.1.1.3.8

Добавим $- 112$ и $424$ .

$312 - 312$

Этап 7.1.1.3.9

Вычтем $312$ из $312$ .

$0$

Этап 7.1.1.4

Поскольку $4$ — известный корень, разделим многочлен на $λ - 4$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- λ^{3} - 3 λ^{2} + 106 λ - 312}{λ - 4}$

Этап 7.1.1.5

Разделим $- λ^{3} - 3 λ^{2} + 106 λ - 312$ на $λ - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$λ$

$4$

$λ^{3}$

$3 λ^{2}$

$106 λ$

$312$

Этап 7.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- λ^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$

Этап 7.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			-	$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$

Этап 7.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- λ^{3} + 4 λ^{2}$ .

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$

Этап 7.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$

Этап 7.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$106 λ$

Этап 7.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 7 λ^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

			-	$λ^{2}$	-	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$106 λ$

Этап 7.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$	-	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$106 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$

Этап 7.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 7 λ^{2} + 28 λ$ .

			-	$λ^{2}$	-	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$106 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$

Этап 7.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$	-	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$106 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$
							+	$78 λ$

Этап 7.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$λ^{2}$	-	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$106 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$
							+	$78 λ$	-	$312$

Этап 7.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $78 λ$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

			-	$λ^{2}$	-	$7 λ$	+	$78$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$106 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$
							+	$78 λ$	-	$312$

Этап 7.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$	-	$7 λ$	+	$78$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$106 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$
							+	$78 λ$	-	$312$
							+	$78 λ$	-	$312$

Этап 7.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $78 λ - 312$ .

			-	$λ^{2}$	-	$7 λ$	+	$78$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$106 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$
							+	$78 λ$	-	$312$
							-	$78 λ$	+	$312$

Этап 7.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$	-	$7 λ$	+	$78$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$	+	$106 λ$	-	$312$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$106 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$
							+	$78 λ$	-	$312$
							-	$78 λ$	+	$312$
										$0$

Этап 7.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- λ^{2} - 7 λ + 78$

Этап 7.1.1.6

Запишем $- λ^{3} - 3 λ^{2} + 106 λ - 312$ в виде набора множителей.

$(λ - 4) (- λ^{2} - 7 λ + 78) = 0$

Этап 7.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 78 = - 78$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 λ$ .

$(λ - 4) (- λ^{2} - 7 λ + 78) = 0$

Этап 7.1.2.1.1.2

Запишем $- 7$ как $6$ плюс $- 13$

$(λ - 4) (- λ^{2} + (6 - 13) λ + 78) = 0$

Этап 7.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(λ - 4) (- λ^{2} + 6 λ - 13 λ + 78) = 0$

Этап 7.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(λ - 4) ((- λ^{2} + 6 λ) - 13 λ + 78) = 0$

Этап 7.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(λ - 4) (λ (- λ + 6) + 13 (- λ + 6)) = 0$

Этап 7.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- λ + 6$ .

$(λ - 4) ((- λ + 6) (λ + 13)) = 0$

Этап 7.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(λ - 4) (- λ + 6) (λ + 13) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$λ - 4 = 0$

$- λ + 6 = 0$

$λ + 13 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $λ - 4$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $λ - 4$ к $0$ .

$λ - 4 = 0$

Этап 7.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$λ = 4$

Этап 7.4

Приравняем $- λ + 6$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $- λ + 6$ к $0$ .

$- λ + 6 = 0$

Этап 7.4.2

Решим $- λ + 6 = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- λ = - 6$

Этап 7.4.2.2

Разделим каждый член $- λ = - 6$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.1

Разделим каждый член $- λ = - 6$ на $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 7.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 7.4.2.2.2.2

Разделим $λ$ на $1$ .

$λ = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 7.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.3.1

Разделим $- 6$ на $- 1$ .

$λ = 6$

Этап 7.5

Приравняем $λ + 13$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Приравняем $λ + 13$ к $0$ .

$λ + 13 = 0$

Этап 7.5.2

Вычтем $13$ из обеих частей уравнения.

$λ = - 13$

Этап 7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(λ - 4) (- λ + 6) (λ + 13) = 0$ верно.

$λ = 4, 6, - 13$