Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 4 & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 & - 4 \\ - 4 & 2 & - 2 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 2

Единичная матрица размера $3$ представляет собой квадратную матрицу $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 4 & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 & - 4 \\ - 4 & 2 & - 2 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 & - 4 \\ - 4 & 2 & - 2 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 & - 4 \\ - 4 & 2 & - 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 & - 4 \\ - 4 & 2 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 & - 4 \\ - 4 & 2 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 & - 4 \\ - 4 & 2 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 & - 4 \\ - 4 & 2 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 & - 4 \\ - 4 & 2 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 & - 4 \\ - 4 & 2 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 & - 4 \\ - 4 & 2 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 & - 4 \\ - 4 & 2 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 & - 4 \\ - 4 & 2 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 & - 4 \\ - 4 & 2 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 & - 4 \\ - 4 & 2 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 & - 4 \\ - 4 & 2 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 & - 4 \\ - 4 & 2 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 & - 4 \\ - 4 & 2 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 & - 4 \\ - 4 & 2 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 & - 4 \\ - 4 & 2 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & - 6 + 0 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 9 - λ & - 4 + 0 \\ - 4 + 0 & 2 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $- 6$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & - 6 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 9 - λ & - 4 + 0 \\ - 4 + 0 & 2 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $- 2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & - 6 & - 2 \\ 2 + 0 & - 9 - λ & - 4 + 0 \\ - 4 + 0 & 2 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.3

Добавим $2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 - λ & - 4 + 0 \\ - 4 + 0 & 2 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.4

Добавим $- 4$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 - λ & - 4 \\ - 4 + 0 & 2 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.5

Добавим $- 4$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 - λ & - 4 \\ - 4 & 2 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.6

Добавим $2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & - 6 & - 2 \\ 2 & - 9 - λ & - 4 \\ - 4 & 2 & - 2 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 9 - λ & - 4 \\ 2 & - 2 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} - 9 - λ & - 4 \\ 2 & - 2 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 4 & - 2 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 4 & - 2 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (4 - λ) | \begin{array}{c} - 9 - λ & - 4 \\ 2 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 4 & - 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.2

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 9 - λ & - 4 \\ 2 & - 2 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((- 9 - λ) (- 2 - λ) - 2 \cdot - 4) + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 4 & - 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Развернем $(- 9 - λ) (- 2 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (4 - λ) (- 9 (- 2 - λ) - λ (- 2 - λ) - 2 \cdot - 4) + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 4 & - 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (4 - λ) (- 9 \cdot - 2 - 9 (- λ) - λ (- 2 - λ) - 2 \cdot - 4) + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 4 & - 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (4 - λ) (- 9 \cdot - 2 - 9 (- λ) - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - 2 \cdot - 4) + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 4 & - 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.1

Умножим $- 9$ на $- 2$ .

$p (λ) = (4 - λ) (18 - 9 (- λ) - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - 2 \cdot - 4) + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 4 & - 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$p (λ) = (4 - λ) (18 + 9 λ - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - 2 \cdot - 4) + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 4 & - 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (18 + 9 λ + 2 λ - λ (- λ) - 2 \cdot - 4) + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 4 & - 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (4 - λ) (18 + 9 λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot - 4) + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 4 & - 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (18 + 9 λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot - 4) + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 4 & - 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (18 + 9 λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot - 4) + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 4 & - 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (18 + 9 λ + 2 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot - 4) + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 4 & - 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (18 + 9 λ + 2 λ + λ^{2} - 2 \cdot - 4) + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 4 & - 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.2

Добавим $9 λ$ и $2 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (18 + 11 λ + λ^{2} - 2 \cdot - 4) + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 4 & - 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (18 + 11 λ + λ^{2} + 8) + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 4 & - 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.2.2.2

Добавим $18$ и $8$ .

$p (λ) = (4 - λ) (11 λ + λ^{2} + 26) + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 4 & - 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.2.2.3

Изменим порядок $11 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} + 11 λ + 26) + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 4 & - 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 4 & - 2 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} + 11 λ + 26) + 6 (2 (- 2 - λ) - (- 4 \cdot - 4)) - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} + 11 λ + 26) + 6 (2 \cdot - 2 + 2 (- λ) - (- 4 \cdot - 4)) - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} + 11 λ + 26) + 6 (- 4 + 2 (- λ) - (- 4 \cdot - 4)) - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} + 11 λ + 26) + 6 (- 4 - 2 λ - (- 4 \cdot - 4)) - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.4

Умножим $- (- 4 \cdot - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.4.1

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} + 11 λ + 26) + 6 (- 4 - 2 λ - 1 \cdot 16) - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.4.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} + 11 λ + 26) + 6 (- 4 - 2 λ - 16) - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.3.2.2

Вычтем $16$ из $- 4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} + 11 λ + 26) + 6 (- 2 λ - 20) - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Этап 5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 & - 9 - λ \\ - 4 & 2 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} + 11 λ + 26) + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (2 \cdot 2 - (- 4 (- 9 - λ)))$

Этап 5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} + 11 λ + 26) + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (4 - (- 4 (- 9 - λ)))$

Этап 5.4.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} + 11 λ + 26) + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (4 - (- 4 \cdot - 9 - 4 (- λ)))$

Этап 5.4.2.1.3

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} + 11 λ + 26) + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (4 - (36 - 4 (- λ)))$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} + 11 λ + 26) + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (4 - (36 + 4 λ))$

Этап 5.4.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} + 11 λ + 26) + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (4 - 1 \cdot 36 - (4 λ))$

Этап 5.4.2.1.6

Умножим $- 1$ на $36$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} + 11 λ + 26) + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (4 - 36 - (4 λ))$

Этап 5.4.2.1.7

Умножим $4$ на $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} + 11 λ + 26) + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (4 - 36 - 4 λ)$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $36$ из $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} + 11 λ + 26) + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (- 32 - 4 λ)$

Этап 5.4.2.3

Изменим порядок $- 32$ и $- 4 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} + 11 λ + 26) + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (- 4 λ - 32)$

Этап 5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Развернем $(4 - λ) (λ^{2} + 11 λ + 26)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = 4 λ^{2} + 4 (11 λ) + 4 \cdot 26 - λ \cdot λ^{2} - λ (11 λ) - λ \cdot 26 + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (- 4 λ - 32)$

Этап 5.5.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Умножим $11$ на $4$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} + 44 λ + 4 \cdot 26 - λ \cdot λ^{2} - λ (11 λ) - λ \cdot 26 + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (- 4 λ - 32)$

Этап 5.5.1.2.2

Умножим $4$ на $26$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} + 44 λ + 104 - λ \cdot λ^{2} - λ (11 λ) - λ \cdot 26 + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (- 4 λ - 32)$

Этап 5.5.1.2.3

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.3.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} + 44 λ + 104 - (λ^{2} λ) - λ (11 λ) - λ \cdot 26 + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (- 4 λ - 32)$

Этап 5.5.1.2.3.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.3.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} + 44 λ + 104 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (11 λ) - λ \cdot 26 + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (- 4 λ - 32)$

Этап 5.5.1.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = 4 λ^{2} + 44 λ + 104 - λ^{2 + 1} - λ (11 λ) - λ \cdot 26 + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (- 4 λ - 32)$

Этап 5.5.1.2.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} + 44 λ + 104 - λ^{3} - λ (11 λ) - λ \cdot 26 + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (- 4 λ - 32)$

Этап 5.5.1.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 4 λ^{2} + 44 λ + 104 - λ^{3} - 1 \cdot 11 λ \cdot λ - λ \cdot 26 + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (- 4 λ - 32)$

Этап 5.5.1.2.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} + 44 λ + 104 - λ^{3} - 1 \cdot 11 (λ \cdot λ) - λ \cdot 26 + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (- 4 λ - 32)$

Этап 5.5.1.2.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} + 44 λ + 104 - λ^{3} - 1 \cdot 11 λ^{2} - λ \cdot 26 + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (- 4 λ - 32)$

Этап 5.5.1.2.6

Умножим $- 1$ на $11$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} + 44 λ + 104 - λ^{3} - 11 λ^{2} - λ \cdot 26 + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (- 4 λ - 32)$

Этап 5.5.1.2.7

Умножим $26$ на $- 1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} + 44 λ + 104 - λ^{3} - 11 λ^{2} - 26 λ + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (- 4 λ - 32)$

Этап 5.5.1.3

Вычтем $11 λ^{2}$ из $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 7 λ^{2} + 44 λ + 104 - λ^{3} - 26 λ + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (- 4 λ - 32)$

Этап 5.5.1.4

Вычтем $26 λ$ из $44 λ$ .

$p (λ) = - 7 λ^{2} + 18 λ + 104 - λ^{3} + 6 (- 2 λ - 20) - 2 (- 4 λ - 32)$

Этап 5.5.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = - 7 λ^{2} + 18 λ + 104 - λ^{3} + 6 (- 2 λ) + 6 \cdot - 20 - 2 (- 4 λ - 32)$

Этап 5.5.1.6

Умножим $- 2$ на $6$ .

$p (λ) = - 7 λ^{2} + 18 λ + 104 - λ^{3} - 12 λ + 6 \cdot - 20 - 2 (- 4 λ - 32)$

Этап 5.5.1.7

Умножим $6$ на $- 20$ .

$p (λ) = - 7 λ^{2} + 18 λ + 104 - λ^{3} - 12 λ - 120 - 2 (- 4 λ - 32)$

Этап 5.5.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = - 7 λ^{2} + 18 λ + 104 - λ^{3} - 12 λ - 120 - 2 (- 4 λ) - 2 \cdot - 32$

Этап 5.5.1.9

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$p (λ) = - 7 λ^{2} + 18 λ + 104 - λ^{3} - 12 λ - 120 + 8 λ - 2 \cdot - 32$

Этап 5.5.1.10

Умножим $- 2$ на $- 32$ .

$p (λ) = - 7 λ^{2} + 18 λ + 104 - λ^{3} - 12 λ - 120 + 8 λ + 64$

Этап 5.5.2

Вычтем $12 λ$ из $18 λ$ .

$p (λ) = - 7 λ^{2} + 6 λ + 104 - λ^{3} - 120 + 8 λ + 64$

Этап 5.5.3

Добавим $6 λ$ и $8 λ$ .

$p (λ) = - 7 λ^{2} + 14 λ + 104 - λ^{3} - 120 + 64$

Этап 5.5.4

Вычтем $120$ из $104$ .

$p (λ) = - 7 λ^{2} + 14 λ - λ^{3} - 16 + 64$

Этап 5.5.5

Добавим $- 16$ и $64$ .

$p (λ) = - 7 λ^{2} + 14 λ - λ^{3} + 48$

Этап 5.5.6

Перенесем $14 λ$ .

$p (λ) = - 7 λ^{2} - λ^{3} + 14 λ + 48$

Этап 5.5.7

Изменим порядок $- 7 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 7 λ^{2} + 14 λ + 48$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$- λ^{3} - 7 λ^{2} + 14 λ + 48 = 0$

Этап 7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Разложим $- λ^{3} - 7 λ^{2} + 14 λ + 48$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

$q = \pm 1$

Этап 7.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

Этап 7.1.1.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

$- {(- 2)}^{3} - 7 {(- 2)}^{2} + 14 \cdot - 2 + 48$

Этап 7.1.1.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- - 8 - 7 {(- 2)}^{2} + 14 \cdot - 2 + 48$

Этап 7.1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$8 - 7 {(- 2)}^{2} + 14 \cdot - 2 + 48$

Этап 7.1.1.3.4

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$8 - 7 \cdot 4 + 14 \cdot - 2 + 48$

Этап 7.1.1.3.5

Умножим $- 7$ на $4$ .

$8 - 28 + 14 \cdot - 2 + 48$

Этап 7.1.1.3.6

Вычтем $28$ из $8$ .

$- 20 + 14 \cdot - 2 + 48$

Этап 7.1.1.3.7

Умножим $14$ на $- 2$ .

$- 20 - 28 + 48$

Этап 7.1.1.3.8

Вычтем $28$ из $- 20$ .

$- 48 + 48$

Этап 7.1.1.3.9

Добавим $- 48$ и $48$ .

$0$

Этап 7.1.1.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $λ + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- λ^{3} - 7 λ^{2} + 14 λ + 48}{λ + 2}$

Этап 7.1.1.5

Разделим $- λ^{3} - 7 λ^{2} + 14 λ + 48$ на $λ + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$14 λ$

$48$

Этап 7.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- λ^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$14 λ$	+	$48$

Этап 7.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$14 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

Этап 7.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- λ^{3} - 2 λ^{2}$ .

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$14 λ$	+	$48$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

Этап 7.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$14 λ$	+	$48$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$

Этап 7.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$14 λ$	+	$48$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$14 λ$

Этап 7.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 5 λ^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

			-	$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$14 λ$	+	$48$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$14 λ$

Этап 7.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$14 λ$	+	$48$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$14 λ$
					-	$5 λ^{2}$	-	$10 λ$

Этап 7.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 5 λ^{2} - 10 λ$ .

			-	$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$14 λ$	+	$48$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$14 λ$
					+	$5 λ^{2}$	+	$10 λ$

Этап 7.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$14 λ$	+	$48$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$14 λ$
					+	$5 λ^{2}$	+	$10 λ$
							+	$24 λ$

Этап 7.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$14 λ$	+	$48$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$14 λ$
					+	$5 λ^{2}$	+	$10 λ$
							+	$24 λ$	+	$48$

Этап 7.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $24 λ$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

			-	$λ^{2}$	-	$5 λ$	+	$24$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$14 λ$	+	$48$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$14 λ$
					+	$5 λ^{2}$	+	$10 λ$
							+	$24 λ$	+	$48$

Этап 7.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$	-	$5 λ$	+	$24$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$14 λ$	+	$48$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$14 λ$
					+	$5 λ^{2}$	+	$10 λ$
							+	$24 λ$	+	$48$
							+	$24 λ$	+	$48$

Этап 7.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $24 λ + 48$ .

			-	$λ^{2}$	-	$5 λ$	+	$24$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$14 λ$	+	$48$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$14 λ$
					+	$5 λ^{2}$	+	$10 λ$
							+	$24 λ$	+	$48$
							-	$24 λ$	-	$48$

Этап 7.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$	-	$5 λ$	+	$24$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$14 λ$	+	$48$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$14 λ$
					+	$5 λ^{2}$	+	$10 λ$
							+	$24 λ$	+	$48$
							-	$24 λ$	-	$48$
										$0$

Этап 7.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- λ^{2} - 5 λ + 24$

Этап 7.1.1.6

Запишем $- λ^{3} - 7 λ^{2} + 14 λ + 48$ в виде набора множителей.

$(λ + 2) (- λ^{2} - 5 λ + 24) = 0$

Этап 7.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 24 = - 24$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 λ$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} - 5 λ + 24) = 0$

Этап 7.1.2.1.1.2

Запишем $- 5$ как $3$ плюс $- 8$

$(λ + 2) (- λ^{2} + (3 - 8) λ + 24) = 0$

Этап 7.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(λ + 2) (- λ^{2} + 3 λ - 8 λ + 24) = 0$

Этап 7.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(λ + 2) ((- λ^{2} + 3 λ) - 8 λ + 24) = 0$

Этап 7.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(λ + 2) (λ (- λ + 3) + 8 (- λ + 3)) = 0$

Этап 7.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- λ + 3$ .

$(λ + 2) ((- λ + 3) (λ + 8)) = 0$

Этап 7.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(λ + 2) (- λ + 3) (λ + 8) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$λ + 2 = 0$

$- λ + 3 = 0$

$λ + 8 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $λ + 2$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $λ + 2$ к $0$ .

$λ + 2 = 0$

Этап 7.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$λ = - 2$

Этап 7.4

Приравняем $- λ + 3$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $- λ + 3$ к $0$ .

$- λ + 3 = 0$

Этап 7.4.2

Решим $- λ + 3 = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- λ = - 3$

Этап 7.4.2.2

Разделим каждый член $- λ = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.1

Разделим каждый член $- λ = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 7.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 7.4.2.2.2.2

Разделим $λ$ на $1$ .

$λ = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 7.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$λ = 3$

Этап 7.5

Приравняем $λ + 8$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Приравняем $λ + 8$ к $0$ .

$λ + 8 = 0$

Этап 7.5.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$λ = - 8$

Этап 7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(λ + 2) (- λ + 3) (λ + 8) = 0$ верно.

$λ = - 2, 3, - 8$