Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$

Этап 2

Единичная матрица размера $2$ представляет собой квадратную матрицу $2 \times 2$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{array}] - λ I_{2})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{2}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & 3 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $3$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & 3 \\ 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & 3 \\ 2 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 - λ) - 2 \cdot 3$

Этап 5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Развернем $(4 - λ) (3 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 4 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ (3 - λ) - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.1

Умножим $4$ на $3$ .

$p (λ) = 12 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.2.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.2.2

Вычтем $3 λ$ из $- 4 λ$ .

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 2$ на $3$ .

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6$

Этап 5.2.2

Вычтем $6$ из $12$ .

$p (λ) = - 7 λ + λ^{2} + 6$

Этап 5.2.3

Изменим порядок $- 7 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$λ^{2} - 7 λ + 6 = 0$

Этап 7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим $λ^{2} - 7 λ + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $- 7$ .

$- 6, - 1$

Этап 7.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$λ - 6 = 0$

$λ - 1 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $λ - 6$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $λ - 6$ к $0$ .

$λ - 6 = 0$

Этап 7.3.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$λ = 6$

Этап 7.4

Приравняем $λ - 1$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $λ - 1$ к $0$ .

$λ - 1 = 0$

Этап 7.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$λ = 1$

Этап 7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(λ - 6) (λ - 1) = 0$ верно.

$λ = 6, 1$