Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$

Этап 2

Единичная матрица размера $2$ представляет собой квадратную матрицу $2 \times 2$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{array}] - λ I_{2})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{2}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 0.65 - λ & 0.35 + 0 \\ 0.45 + 0 & 0.55 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $0.35$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 0.65 - λ & 0.35 \\ 0.45 + 0 & 0.55 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $0.45$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 0.65 - λ & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (0.65 - λ) (0.55 - λ) - 0.45 \cdot 0.35$

Этап 5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Развернем $(0.65 - λ) (0.55 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0.65 (0.55 - λ) - λ (0.55 - λ) - 0.45 \cdot 0.35$

Этап 5.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0.65 \cdot 0.55 + 0.65 (- λ) - λ (0.55 - λ) - 0.45 \cdot 0.35$

Этап 5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0.65 \cdot 0.55 + 0.65 (- λ) - λ \cdot 0.55 - λ (- λ) - 0.45 \cdot 0.35$

Этап 5.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.1

Умножим $0.65$ на $0.55$ .

$p (λ) = 0.3575 + 0.65 (- λ) - λ \cdot 0.55 - λ (- λ) - 0.45 \cdot 0.35$

Этап 5.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0.65$ .

$p (λ) = 0.3575 - 0.65 λ - λ \cdot 0.55 - λ (- λ) - 0.45 \cdot 0.35$

Этап 5.2.1.2.1.3

Умножим $0.55$ на $- 1$ .

$p (λ) = 0.3575 - 0.65 λ - 0.55 λ - λ (- λ) - 0.45 \cdot 0.35$

Этап 5.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 0.3575 - 0.65 λ - 0.55 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 0.45 \cdot 0.35$

Этап 5.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 0.3575 - 0.65 λ - 0.55 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 0.45 \cdot 0.35$

Этап 5.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 0.3575 - 0.65 λ - 0.55 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 0.45 \cdot 0.35$

Этап 5.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = 0.3575 - 0.65 λ - 0.55 λ + 1 λ^{2} - 0.45 \cdot 0.35$

Этап 5.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = 0.3575 - 0.65 λ - 0.55 λ + λ^{2} - 0.45 \cdot 0.35$

Этап 5.2.1.2.2

Вычтем $0.55 λ$ из $- 0.65 λ$ .

$p (λ) = 0.3575 - 1.2 λ + λ^{2} - 0.45 \cdot 0.35$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 0.45$ на $0.35$ .

$p (λ) = 0.3575 - 1.2 λ + λ^{2} - 0.1575$

Этап 5.2.2

Вычтем $0.1575$ из $0.3575$ .

$p (λ) = - 1.2 λ + λ^{2} + 0.2$

Этап 5.2.3

Изменим порядок $- 1.2 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 1.2 λ + 0.2$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$λ^{2} - 1.2 λ + 0.2 = 0$

Этап 7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 1.2$ и $c = 0.2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $λ$ .

$\frac{1.2 \pm \sqrt{{(- 1.2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 0.2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Возведем $- 1.2$ в степень $2$ .

$λ = \frac{1.2 \pm \sqrt{1.44 - 4 \cdot 1 \cdot 0.2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 0.2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$λ = \frac{1.2 \pm \sqrt{1.44 - 4 \cdot 0.2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $0.2$ .

$λ = \frac{1.2 \pm \sqrt{1.44 - 0.8}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.3

Вычтем $0.8$ из $1.44$ .

$λ = \frac{1.2 \pm \sqrt{0.64}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.4

Перепишем $0.64$ в виде ${0.8}^{2}$ .

$λ = \frac{1.2 \pm \sqrt{{0.8}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$λ = \frac{1.2 \pm 0.8}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$λ = \frac{1.2 \pm 0.8}{2}$

Этап 7.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$λ = 1, 0.2$