Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{4})$

Этап 2

Единичная матрица размера $4$ представляет собой квадратную матрицу $4 \times 4$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] - λ I_{4})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{4}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.9.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.10

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.10.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.10.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.12

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.12.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.12.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.13

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.13.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.13.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.14

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.14.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.14.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.15

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.15.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.15.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.16

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.3

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.7

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.8

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.9

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.11

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 1 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.12

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Этап 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.3.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.3.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.3.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.3.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.3.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.3.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (1 (1 - λ) + 0 \cdot 1) + (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Умножим $1 - λ$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (1 - λ + 0 \cdot 1) + (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.3.2.1.2

Умножим $0$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (1 - λ + 0) + (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.3.2.2

Добавим $1 - λ$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (1 - λ) + (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.3.2.3

Изменим порядок $1$ и $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1.1

Развернем $(1 - λ) (1 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.4.2.1.2.1.2

Умножим $- λ$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.4.2.1.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - λ - λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.4.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.4.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.4.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - λ - λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.4.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - λ - λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.4.2.1.2.2

Вычтем $λ$ из $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} - 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.4.2.2

Объединим противоположные члены в $1 - 2 λ + λ^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 2 λ + λ^{2} + 0) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.4.2.2.2

Добавим $- 2 λ + λ^{2}$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 2 λ + λ^{2}) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.4.2.3

Изменим порядок $- 2 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Добавим $- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ) - 1 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.5.2.2

Умножим $- 1 (- λ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (1 λ - 1 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.5.2.2.2

Умножим $λ$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.5.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.5.2.4

Развернем $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + 1 (λ^{2} - 2 λ) - λ (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.5.2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + 1 λ^{2} + 1 (- 2 λ) - λ (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.5.2.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + 1 λ^{2} + 1 (- 2 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.5.2.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.5.1.1

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} + 1 (- 2 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.5.2.5.1.2

Умножим $- 2 λ$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.5.2.5.1.3

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.5.1.3.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.5.2.5.1.3.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.5.1.3.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.5.2.5.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.5.2.5.1.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - λ (- 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.5.2.5.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.5.2.5.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.5.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.5.2.5.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2}) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.5.2.5.1.6

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - λ^{3} + 2 λ^{2}) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.5.2.5.2

Добавим $λ^{2}$ и $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + 3 λ^{2} - 2 λ - λ^{3}) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.5.3

Вычтем $2 λ$ из $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ - 1 + 3 λ^{2} - λ^{3}) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.5.4

Перенесем $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ + 3 λ^{2} - λ^{3} - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.5.5

Перенесем $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - λ^{3} - λ - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3.5.6

Изменим порядок $3 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.4.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.4.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.4.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Этап 5.4.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Этап 5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | - (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (1 (1 - λ) - 1 \cdot 0) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Умножим $1 - λ$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (1 - λ - 1 \cdot 0) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.3.2.2

Вычтем $0$ из $1 - λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (1 - λ) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.3.2.3

Изменим порядок $1$ и $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (- λ + 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (- λ + 1) + 1 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (- λ + 1) + 1 (1 - 1 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (- λ + 1) + 1 (1 - 1)) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.4.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.1

Вычтем $(1 - λ) (- λ + 1)$ из $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- (1 - λ) (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 ((- 1 \cdot 1 - - λ) (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 ((- 1 - - λ) (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.2.3

Умножим $- - λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 ((- 1 + 1 λ) (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.2.3.2

Умножим $λ$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 ((- 1 + λ) (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.2.4

Развернем $(- 1 + λ) (- λ + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- 1 (- λ + 1) + λ (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- 1 (- λ) - 1 \cdot 1 + λ (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.2.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- 1 (- λ) - 1 \cdot 1 + λ (- λ) + λ \cdot 1 + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.2.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.2.5.1.1

Умножим $- 1 (- λ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.2.5.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (1 λ - 1 \cdot 1 + λ (- λ) + λ \cdot 1 + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.2.5.1.1.2

Умножим $λ$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (λ - 1 \cdot 1 + λ (- λ) + λ \cdot 1 + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (λ - 1 + λ (- λ) + λ \cdot 1 + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.2.5.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (λ - 1 - λ \cdot λ + λ \cdot 1 + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.2.5.1.4

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.2.5.1.4.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (λ - 1 - (λ \cdot λ) + λ \cdot 1 + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.2.5.1.4.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (λ - 1 - λ^{2} + λ \cdot 1 + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.2.5.1.5

Умножим $λ$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (λ - 1 - λ^{2} + λ + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.2.5.2

Добавим $λ$ и $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (2 λ - 1 - λ^{2} + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.2.6

Умножим $0$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (2 λ - 1 - λ^{2} + 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.3

Добавим $2 λ - 1 - λ^{2}$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (2 λ - 1 - λ^{2}) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.4

Перенесем $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (2 λ - λ^{2} - 1) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.5

Изменим порядок $2 λ$ и $- λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.5

Найдем значение $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Этап 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Этап 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} | - (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Этап 5.5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Этап 5.5.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (1 \cdot 0 - (1 - λ)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Этап 5.5.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.1.1

Умножим $0$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (0 - (1 - λ)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Этап 5.5.3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 \cdot 1 - - λ) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Этап 5.5.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 - - λ) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Этап 5.5.3.2.1.4

Умножим $- - λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 + 1 λ) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Этап 5.5.3.2.1.4.2

Умножим $λ$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 + λ) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Этап 5.5.3.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (- 1 + λ) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Этап 5.5.3.2.3

Изменим порядок $- 1$ и $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Этап 5.5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1))$

Этап 5.5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 (1 - 1 \cdot 1))$

Этап 5.5.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 (1 - 1))$

Этап 5.5.4.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

Этап 5.5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Вычтем $(1 - λ) (λ - 1)$ из $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- (1 - λ) (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

Этап 5.5.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 ((- 1 \cdot 1 - - λ) (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

Этап 5.5.5.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 ((- 1 - - λ) (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

Этап 5.5.5.2.3

Умножим $- - λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 ((- 1 + 1 λ) (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

Этап 5.5.5.2.3.2

Умножим $λ$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 ((- 1 + λ) (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

Этап 5.5.5.2.4

Развернем $(- 1 + λ) (λ - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- 1 (λ - 1) + λ (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

Этап 5.5.5.2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- 1 λ - 1 \cdot - 1 + λ (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

Этап 5.5.5.2.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- 1 λ - 1 \cdot - 1 + λ \cdot λ + λ \cdot - 1 + 1 \cdot 0)$

Этап 5.5.5.2.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.2.5.1.1

Перепишем $- 1 λ$ в виде $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- λ - 1 \cdot - 1 + λ \cdot λ + λ \cdot - 1 + 1 \cdot 0)$

Этап 5.5.5.2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- λ + 1 + λ \cdot λ + λ \cdot - 1 + 1 \cdot 0)$

Этап 5.5.5.2.5.1.3

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- λ + 1 + λ^{2} + λ \cdot - 1 + 1 \cdot 0)$

Этап 5.5.5.2.5.1.4

Перенесем $- 1$ влево от $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- λ + 1 + λ^{2} - 1 \cdot λ + 1 \cdot 0)$

Этап 5.5.5.2.5.1.5

Перепишем $- 1 λ$ в виде $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- λ + 1 + λ^{2} - λ + 1 \cdot 0)$

Этап 5.5.5.2.5.2

Вычтем $λ$ из $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- 2 λ + 1 + λ^{2} + 1 \cdot 0)$

Этап 5.5.5.2.6

Умножим $0$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- 2 λ + 1 + λ^{2} + 0)$

Этап 5.5.5.3

Добавим $- 2 λ + 1 + λ^{2}$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- 2 λ + 1 + λ^{2})$

Этап 5.5.5.4

Перенесем $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- 2 λ + λ^{2} + 1)$

Этап 5.5.5.5

Изменим порядок $- 2 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Добавим $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Развернем $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (3 λ^{2}) + 1 (- λ) + 1 \cdot - 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Умножим $- λ^{3}$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 1 (3 λ^{2}) + 1 (- λ) + 1 \cdot - 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2.2

Умножим $3 λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} + 1 (- λ) + 1 \cdot - 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2.3

Умножим $- λ$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ + 1 \cdot - 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2.6

Умножим $λ$ на $λ^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.6.1

Перенесем $λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2.6.2

Умножим $λ^{3}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.6.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2.6.3

Добавим $3$ и $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + 1 λ^{4} - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2.8

Умножим $λ^{4}$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 λ \cdot λ^{2} - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2.10

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.10.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 (λ^{2} λ) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2.10.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.10.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 λ^{2 + 1} - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2.10.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 λ^{3} - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2.11

Умножим $- 1$ на $3$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2.13

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.13.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2.13.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - 1 \cdot - 1 λ^{2} - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2.14

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + 1 λ^{2} - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2.15

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + λ^{2} - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2.16

Умножим $- λ \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.16.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + λ^{2} + 1 λ + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.2.16.2

Умножим $λ$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + λ^{2} + λ + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.3

Объединим противоположные члены в $- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + λ^{2} + λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.3.1

Добавим $- λ$ и $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + λ^{2} + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.3.2

Добавим $- λ^{3} + 3 λ^{2} - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + λ^{2}$ и $0$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + λ^{2} + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.4

Вычтем $3 λ^{3}$ из $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 3 λ^{2} - 1 + λ^{4} + λ^{2} + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.5

Добавим $3 λ^{2}$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 λ^{2} - 1 + λ^{4} + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.6

Умножим $- λ^{2} + 2 λ - 1$ на $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 λ^{2} - 1 + λ^{4} - λ^{2} + 2 λ - 1 - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Этап 5.6.2.7

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 λ^{2} - 1 + λ^{4} - λ^{2} + 2 λ - 1 - 1 λ^{2} - 1 (- 2 λ) - 1 \cdot 1$

Этап 5.6.2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.8.1

Перепишем $- 1 λ^{2}$ в виде $- λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 λ^{2} - 1 + λ^{4} - λ^{2} + 2 λ - 1 - λ^{2} - 1 (- 2 λ) - 1 \cdot 1$

Этап 5.6.2.8.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 λ^{2} - 1 + λ^{4} - λ^{2} + 2 λ - 1 - λ^{2} + 2 λ - 1 \cdot 1$

Этап 5.6.2.8.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 λ^{2} - 1 + λ^{4} - λ^{2} + 2 λ - 1 - λ^{2} + 2 λ - 1$

Этап 5.6.3

Вычтем $λ^{2}$ из $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 3 λ^{2} - 1 + λ^{4} + 2 λ - 1 - λ^{2} + 2 λ - 1$

Этап 5.6.4

Вычтем $λ^{2}$ из $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 2 λ^{2} - 1 + λ^{4} + 2 λ - 1 + 2 λ - 1$

Этап 5.6.5

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 2 λ^{2} + λ^{4} + 2 λ - 2 + 2 λ - 1$

Этап 5.6.6

Добавим $2 λ$ и $2 λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 2 λ^{2} + λ^{4} + 4 λ - 2 - 1$

Этап 5.6.7

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 2 λ^{2} + λ^{4} + 4 λ - 3$

Этап 5.6.8

Перенесем $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + λ^{4} + 2 λ^{2} + 4 λ - 3$

Этап 5.6.9

Изменим порядок $- 4 λ^{3}$ и $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 4 λ^{3} + 2 λ^{2} + 4 λ - 3$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$λ^{4} - 4 λ^{3} + 2 λ^{2} + 4 λ - 3 = 0$

Этап 7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перегруппируем члены.

$- 4 λ^{3} + 4 λ + λ^{4} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $- 4 λ$ из $- 4 λ^{3} + 4 λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $- 4 λ$ из $- 4 λ^{3}$ .

$- 4 λ \cdot λ^{2} + 4 λ + λ^{4} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

Этап 7.1.2.2

Вынесем множитель $- 4 λ$ из $4 λ$ .

$- 4 λ \cdot λ^{2} - 4 λ \cdot - 1 + λ^{4} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

Этап 7.1.2.3

Вынесем множитель $- 4 λ$ из $- 4 λ (λ^{2}) - 4 λ (- 1)$ .

$- 4 λ (λ^{2} - 1) + λ^{4} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

Этап 7.1.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- 4 λ (λ^{2} - 1^{2}) + λ^{4} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

Этап 7.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = λ$ и $b = 1$ .

$- 4 λ ((λ + 1) (λ - 1)) + λ^{4} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

Этап 7.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + λ^{4} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

Этап 7.1.5

Перепишем $λ^{4}$ в виде ${(λ^{2})}^{2}$ .

$- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + {(λ^{2})}^{2} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

Этап 7.1.6

Пусть $u = λ^{2}$ . Подставим $u$ вместо $λ^{2}$ для всех.

$- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + u^{2} + 2 u - 3 = 0$

Этап 7.1.7

Разложим $u^{2} + 2 u - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $2$ .

$- 1, 3$

Этап 7.1.7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + (u - 1) (u + 3) = 0$

Этап 7.1.8

Заменим все вхождения $u$ на $λ^{2}$ .

$- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + (λ^{2} - 1) (λ^{2} + 3) = 0$

Этап 7.1.9

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + (λ^{2} - 1^{2}) (λ^{2} + 3) = 0$

Этап 7.1.10

$- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + (λ + 1) (λ - 1) (λ^{2} + 3) = 0$

Этап 7.1.11

Вынесем множитель $(λ + 1) (λ - 1)$ из $- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + (λ + 1) (λ - 1) (λ^{2} + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.11.1

Вынесем множитель $(λ + 1) (λ - 1)$ из $- 4 λ (λ + 1) (λ - 1)$ .

$(λ + 1) (λ - 1) (- 4 λ) + (λ + 1) (λ - 1) (λ^{2} + 3) = 0$

Этап 7.1.11.2

Вынесем множитель $(λ + 1) (λ - 1)$ из $(λ + 1) (λ - 1) (- 4 λ) + (λ + 1) (λ - 1) (λ^{2} + 3)$ .

$(λ + 1) (λ - 1) (- 4 λ + λ^{2} + 3) = 0$

Этап 7.1.12

Пусть $u = λ$ . Подставим $u$ вместо $λ$ для всех.

$(λ + 1) (λ - 1) (- 4 u + u^{2} + 3) = 0$

Этап 7.1.13

Разложим $- 4 u + u^{2} + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.13.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $- 4$ .

$- 3, - 1$

Этап 7.1.13.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(λ + 1) (λ - 1) ((u - 3) (u - 1)) = 0$

Этап 7.1.14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.14.1

Заменим все вхождения $u$ на $λ$ .

$(λ + 1) (λ - 1) ((λ - 3) (λ - 1)) = 0$

Этап 7.1.14.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(λ + 1) (λ - 1) (λ - 3) (λ - 1) = 0$

Этап 7.1.15

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.15.1

Возведем $λ - 1$ в степень $1$ .

$(λ + 1) ((λ - 1) (λ - 1)) (λ - 3) = 0$

Этап 7.1.15.2

Возведем $λ - 1$ в степень $1$ .

$(λ + 1) ((λ - 1) (λ - 1)) (λ - 3) = 0$

Этап 7.1.15.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(λ + 1) {(λ - 1)}^{1 + 1} (λ - 3) = 0$

Этап 7.1.15.4

Добавим $1$ и $1$ .

$(λ + 1) {(λ - 1)}^{2} (λ - 3) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$λ + 1 = 0$

${(λ - 1)}^{2} = 0$

$λ - 3 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $λ + 1$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $λ + 1$ к $0$ .

$λ + 1 = 0$

Этап 7.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$λ = - 1$

Этап 7.4

Приравняем ${(λ - 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем ${(λ - 1)}^{2}$ к $0$ .

${(λ - 1)}^{2} = 0$

Этап 7.4.2

Решим ${(λ - 1)}^{2} = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Приравняем $λ - 1$ к $0$ .

$λ - 1 = 0$

Этап 7.4.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$λ = 1$

Этап 7.5

Приравняем $λ - 3$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Приравняем $λ - 3$ к $0$ .

$λ - 3 = 0$

Этап 7.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$λ = 3$

Этап 7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(λ + 1) {(λ - 1)}^{2} (λ - 3) = 0$ верно.

$λ = - 1, 1, 3$