Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{4})$

Этап 2

Единичная матрица размера $4$ представляет собой квадратную матрицу $4 \times 4$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - λ I_{4})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{4}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.9.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.10

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.10.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.10.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.12

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.12.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.12.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.13

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.13.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.13.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.14

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.14.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.14.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.15

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.15.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.15.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.16

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.3

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.6

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.7

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.8

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.9

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.11

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.12

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Этап 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $3$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.4.1.3

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 - λ & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.1.4

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 - λ & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.1.5

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.1.6

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.4.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) (0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 - λ & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} | + (3 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 - λ & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} | + (3 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) ((1 - λ) (1 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.1.1

Развернем $(1 - λ) (1 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.1.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.4.2.1.2.1.2

Умножим $- λ$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.4.2.1.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - λ - λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.4.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.4.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.4.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - λ - λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.4.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - λ - λ + λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.4.2.1.2.2

Вычтем $λ$ из $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} - 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.4.2.2

Объединим противоположные члены в $1 - 2 λ + λ^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (- 2 λ + λ^{2} + 0)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.4.2.2.2

Добавим $- 2 λ + λ^{2}$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (- 2 λ + λ^{2})) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.4.2.3

Изменим порядок $- 2 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.1

Объединим противоположные члены в $0 + 0 + (3 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.1.1

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + (3 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.1.2

Добавим $0$ и $(3 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.2

Развернем $(3 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (3 (λ^{2} - 2 λ) - λ (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} + 3 (- 2 λ) - λ (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} + 3 (- 2 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.1.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.3.1.2

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.1.2.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.3.1.2.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.1.2.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.3.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - λ^{3} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.3.1.4

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.1.4.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.3.1.4.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2}) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - λ^{3} + 2 λ^{2}) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.3.2

Добавим $3 λ^{2}$ и $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (5 λ^{2} - 6 λ - λ^{3}) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.4

Перенесем $- 6 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (5 λ^{2} - λ^{3} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4.5.5

Изменим порядок $5 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.5

Найдем значение $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (1 - λ) | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Этап 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} | - (1 - λ) | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Этап 5.5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Этап 5.5.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (0 \cdot 0 - (1 - λ)) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Этап 5.5.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.1.1

Умножим $0$ на $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (0 - (1 - λ)) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Этап 5.5.3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 \cdot 1 - - λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Этап 5.5.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 - - λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Этап 5.5.3.2.1.4

Умножим $- - λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 + 1 λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Этап 5.5.3.2.1.4.2

Умножим $λ$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 + λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Этап 5.5.3.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (- 1 + λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Этап 5.5.3.2.3

Изменим порядок $- 1$ и $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Этап 5.5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1))$

Этап 5.5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.1

Умножим $0$ на $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 (0 - 1 \cdot 1))$

Этап 5.5.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 (0 - 1))$

Этап 5.5.4.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Этап 5.5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Вычтем $(1 - λ) (λ - 1)$ из $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- (1 - λ) (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Этап 5.5.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 ((- 1 \cdot 1 - - λ) (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Этап 5.5.5.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 ((- 1 - - λ) (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Этап 5.5.5.2.3

Умножим $- - λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 ((- 1 + 1 λ) (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Этап 5.5.5.2.3.2

Умножим $λ$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 ((- 1 + λ) (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Этап 5.5.5.2.4

Развернем $(- 1 + λ) (λ - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- 1 (λ - 1) + λ (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Этап 5.5.5.2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- 1 λ - 1 \cdot - 1 + λ (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Этап 5.5.5.2.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- 1 λ - 1 \cdot - 1 + λ \cdot λ + λ \cdot - 1 + 1 \cdot - 1)$

Этап 5.5.5.2.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.2.5.1.1

Перепишем $- 1 λ$ в виде $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- λ - 1 \cdot - 1 + λ \cdot λ + λ \cdot - 1 + 1 \cdot - 1)$

Этап 5.5.5.2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- λ + 1 + λ \cdot λ + λ \cdot - 1 + 1 \cdot - 1)$

Этап 5.5.5.2.5.1.3

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- λ + 1 + λ^{2} + λ \cdot - 1 + 1 \cdot - 1)$

Этап 5.5.5.2.5.1.4

Перенесем $- 1$ влево от $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- λ + 1 + λ^{2} - 1 \cdot λ + 1 \cdot - 1)$

Этап 5.5.5.2.5.1.5

Перепишем $- 1 λ$ в виде $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- λ + 1 + λ^{2} - λ + 1 \cdot - 1)$

Этап 5.5.5.2.5.2

Вычтем $λ$ из $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- 2 λ + 1 + λ^{2} + 1 \cdot - 1)$

Этап 5.5.5.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- 2 λ + 1 + λ^{2} - 1)$

Этап 5.5.5.3

Объединим противоположные члены в $- 2 λ + 1 + λ^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- 2 λ + λ^{2} + 0)$

Этап 5.5.5.3.2

Добавим $- 2 λ + λ^{2}$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- 2 λ + λ^{2})$

Этап 5.5.5.4

Изменим порядок $- 2 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Объединим противоположные члены в $(1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (λ^{2} - 2 λ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Добавим $(1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.1.2

Добавим $(1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Развернем $(1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (5 λ^{2}) + 1 (- 6 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Умножим $- λ^{3}$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 1 (5 λ^{2}) + 1 (- 6 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2.2.2

Умножим $5 λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} + 1 (- 6 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2.2.3

Умножим $- 6 λ$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2.2.5

Умножим $λ$ на $λ^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.5.1

Перенесем $λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2.2.5.2

Умножим $λ^{3}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.5.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2.2.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2.2.5.3

Добавим $3$ и $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2.2.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + 1 λ^{4} - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2.2.7

Умножим $λ^{4}$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2.2.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 1 \cdot 5 λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2.2.9

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.9.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 1 \cdot 5 (λ^{2} λ) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2.2.9.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.9.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 1 \cdot 5 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2.2.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 1 \cdot 5 λ^{2 + 1} - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2.2.9.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 1 \cdot 5 λ^{3} - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2.2.10

Умножим $- 1$ на $5$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 5 λ^{3} - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2.2.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 5 λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ \cdot λ - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2.2.12

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.12.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 5 λ^{3} - 1 \cdot - 6 (λ \cdot λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2.2.12.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 5 λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ^{2} - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2.2.13

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 5 λ^{3} + 6 λ^{2} - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2.3

Вычтем $5 λ^{3}$ из $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} + 6 λ^{2} - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2.4

Добавим $5 λ^{2}$ и $6 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 11 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Этап 5.6.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 11 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 1 λ^{2} - 1 (- 2 λ)$

Этап 5.6.2.6

Перепишем $- 1 λ^{2}$ в виде $- λ^{2}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 11 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - λ^{2} - 1 (- 2 λ)$

Этап 5.6.2.7

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 11 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - λ^{2} + 2 λ$

Этап 5.6.3

Вычтем $λ^{2}$ из $11 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 10 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} + 2 λ$

Этап 5.6.4

Добавим $- 6 λ$ и $2 λ$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 10 λ^{2} + λ^{4} - 4 λ$

Этап 5.6.5

Перенесем $10 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + λ^{4} + 10 λ^{2} - 4 λ$

Этап 5.6.6

Изменим порядок $- 6 λ^{3}$ и $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 6 λ^{3} + 10 λ^{2} - 4 λ$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$λ^{4} - 6 λ^{3} + 10 λ^{2} - 4 λ = 0$

Этап 7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $λ$ из $λ^{4} - 6 λ^{3} + 10 λ^{2} - 4 λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Вынесем множитель $λ$ из $λ^{4}$ .

$λ \cdot λ^{3} - 6 λ^{3} + 10 λ^{2} - 4 λ = 0$

Этап 7.1.1.2

Вынесем множитель $λ$ из $- 6 λ^{3}$ .

$λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2}) + 10 λ^{2} - 4 λ = 0$

Этап 7.1.1.3

Вынесем множитель $λ$ из $10 λ^{2}$ .

$λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2}) + λ (10 λ) - 4 λ = 0$

Этап 7.1.1.4

Вынесем множитель $λ$ из $- 4 λ$ .

$λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2}) + λ (10 λ) + λ \cdot - 4 = 0$

Этап 7.1.1.5

Вынесем множитель $λ$ из $λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2})$ .

$λ (λ^{3} - 6 λ^{2}) + λ (10 λ) + λ \cdot - 4 = 0$

Этап 7.1.1.6

Вынесем множитель $λ$ из $λ (λ^{3} - 6 λ^{2}) + λ (10 λ)$ .

$λ (λ^{3} - 6 λ^{2} + 10 λ) + λ \cdot - 4 = 0$

Этап 7.1.1.7

Вынесем множитель $λ$ из $λ (λ^{3} - 6 λ^{2} + 10 λ) + λ \cdot - 4$ .

$λ (λ^{3} - 6 λ^{2} + 10 λ - 4) = 0$

Этап 7.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Разложим $λ^{3} - 6 λ^{2} + 10 λ - 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 7.1.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 7.1.2.1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 10 \cdot 2 - 4$

Этап 7.1.2.1.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 10 \cdot 2 - 4$

Этап 7.1.2.1.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 10 \cdot 2 - 4$

Этап 7.1.2.1.3.4

Умножим $- 6$ на $4$ .

$8 - 24 + 10 \cdot 2 - 4$

Этап 7.1.2.1.3.5

Вычтем $24$ из $8$ .

$- 16 + 10 \cdot 2 - 4$

Этап 7.1.2.1.3.6

Умножим $10$ на $2$ .

$- 16 + 20 - 4$

Этап 7.1.2.1.3.7

Добавим $- 16$ и $20$ .

$4 - 4$

Этап 7.1.2.1.3.8

Вычтем $4$ из $4$ .

$0$

Этап 7.1.2.1.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $λ - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{λ^{3} - 6 λ^{2} + 10 λ - 4}{λ - 2}$

Этап 7.1.2.1.5

Разделим $λ^{3} - 6 λ^{2} + 10 λ - 4$ на $λ - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$10 λ$

$4$

Этап 7.1.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $λ^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$

Этап 7.1.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

Этап 7.1.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $λ^{3} - 2 λ^{2}$ .

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

Этап 7.1.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$

Этап 7.1.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$

Этап 7.1.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 λ^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$

Этап 7.1.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$

Этап 7.1.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 λ^{2} + 8 λ$ .

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$

Этап 7.1.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$2 λ$

Этап 7.1.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$2 λ$	-	$4$

Этап 7.1.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 λ$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$2$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$2 λ$	-	$4$

Этап 7.1.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$2$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$2 λ$	-	$4$
							+	$2 λ$	-	$4$

Этап 7.1.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 λ - 4$ .

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$2$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$2 λ$	-	$4$
							-	$2 λ$	+	$4$

Этап 7.1.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$2$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$2 λ$	-	$4$
							-	$2 λ$	+	$4$
										$0$

Этап 7.1.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$λ^{2} - 4 λ + 2$

Этап 7.1.2.1.6

Запишем $λ^{3} - 6 λ^{2} + 10 λ - 4$ в виде набора множителей.

$λ ((λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 2)) = 0$

Этап 7.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$λ (λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 2) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$λ = 0$

$λ - 2 = 0$

$λ^{2} - 4 λ + 2 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $λ$ к $0$ .

$λ = 0$

Этап 7.4

Приравняем $λ - 2$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $λ - 2$ к $0$ .

$λ - 2 = 0$

Этап 7.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$λ = 2$

Этап 7.5

Приравняем $λ^{2} - 4 λ + 2$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Приравняем $λ^{2} - 4 λ + 2$ к $0$ .

$λ^{2} - 4 λ + 2 = 0$

Этап 7.5.2

Решим $λ^{2} - 4 λ + 2 = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $λ$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.3.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.3.1.3

Вычтем $8$ из $16$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.3.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.5.2.3.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$λ = 2 \pm \sqrt{2}$

Этап 7.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$λ = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Этап 7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $λ (λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 2) = 0$ верно.

$λ = 0, 2, 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$λ = 0, 2, 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Десятичная форма:

$λ = 0, 2, 3.41421356 \dots, 0.58578643 \dots$