Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{4})$

Этап 2

Единичная матрица размера $4$ представляет собой квадратную матрицу $4 \times 4$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] - λ I_{4})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{4}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.9.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.10

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.10.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.10.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.12

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.12.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.12.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.13

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.13.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.13.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.14

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.14.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.14.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.15

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.15.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.15.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.16

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.5

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.6

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.7

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.8

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.9

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.10

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.11

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.12

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Этап 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.4

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

Этап 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.1

Развернем $(1 - λ) (1 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 (1 - λ) - λ (1 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.2

Умножим $- λ$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ + λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.2

Вычтем $λ$ из $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.3

Умножим $0$ на $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.2

Добавим $1 - 2 λ + λ^{2}$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2}) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.3

Перенесем $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (- 2 λ + λ^{2} + 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.4

Изменим порядок $- 2 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Объединим противоположные члены в $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1) + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1.1

Добавим $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.1.2

Добавим $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1)) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.2

Развернем $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = (1 - λ) (1 λ^{2} + 1 (- 2 λ) + 1 \cdot 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.3.1

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 1 (- 2 λ) + 1 \cdot 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.2

Умножим $- 2 λ$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 \cdot 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.3

Умножим $1$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.4

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.3.4.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.4.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.3.4.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.6

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.3.6.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.6.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2} - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.7

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} + 2 λ^{2} - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} + 2 λ^{2} - λ) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.4

Добавим $λ^{2}$ и $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} - λ) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.5

Вычтем $λ$ из $- 2 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 3 λ + 1 - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.6

Перенесем $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 3 λ - λ^{3} + 1) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.7

Перенесем $- 3 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - λ^{3} - 3 λ + 1) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.8

Изменим порядок $3 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.6

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Объединим противоположные члены в $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1) + 0 + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Добавим $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1) + 0 + 0$

Этап 5.6.1.2

Добавим $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1) + 0$

Этап 5.6.1.3

Добавим $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1)$

Этап 5.6.2

Развернем $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (3 λ^{2}) + 1 (- 3 λ) + 1 \cdot 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Этап 5.6.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Умножим $- λ^{3}$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 1 (3 λ^{2}) + 1 (- 3 λ) + 1 \cdot 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Этап 5.6.3.2

Умножим $3 λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} + 1 (- 3 λ) + 1 \cdot 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Этап 5.6.3.3

Умножим $- 3 λ$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 \cdot 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Этап 5.6.3.4

Умножим $1$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Этап 5.6.3.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Этап 5.6.3.6

Умножим $λ$ на $λ^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.6.1

Перенесем $λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Этап 5.6.3.6.2

Умножим $λ^{3}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.6.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Этап 5.6.3.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Этап 5.6.3.6.3

Добавим $3$ и $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Этап 5.6.3.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + 1 λ^{4} - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Этап 5.6.3.8

Умножим $λ^{4}$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Этап 5.6.3.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Этап 5.6.3.10

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.10.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 (λ^{2} λ) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Этап 5.6.3.10.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.10.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Этап 5.6.3.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 λ^{2 + 1} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Этап 5.6.3.10.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Этап 5.6.3.11

Умножим $- 1$ на $3$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Этап 5.6.3.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ - λ \cdot 1$

Этап 5.6.3.13

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.13.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - 1 \cdot - 3 (λ \cdot λ) - λ \cdot 1$

Этап 5.6.3.13.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ^{2} - λ \cdot 1$

Этап 5.6.3.14

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + 3 λ^{2} - λ \cdot 1$

Этап 5.6.3.15

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + 3 λ^{2} - λ$

Этап 5.6.4

Вычтем $3 λ^{3}$ из $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} + 3 λ^{2} - λ$

Этап 5.6.5

Добавим $3 λ^{2}$ и $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - λ$

Этап 5.6.6

Вычтем $λ$ из $- 3 λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 4 λ + 1 + λ^{4}$

Этап 5.6.7

Перенесем $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 4 λ + λ^{4} + 1$

Этап 5.6.8

Перенесем $- 4 λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} + λ^{4} - 4 λ + 1$

Этап 5.6.9

Перенесем $6 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + λ^{4} + 6 λ^{2} - 4 λ + 1$

Этап 5.6.10

Изменим порядок $- 4 λ^{3}$ и $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 4 λ + 1$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$λ^{4} - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 4 λ + 1 = 0$

Этап 7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим $λ^{4} - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 4 λ + 1$ на множители с помощью бинома Ньютона.

${(1 - λ)}^{4} = 0$

Этап 7.2

Приравняем $1 - λ$ к $0$ .

$1 - λ = 0$

Этап 7.3

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- λ = - 1$

Этап 7.3.2

Разделим каждый член $- λ = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Разделим каждый член $- λ = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 7.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 7.3.2.2.2

Разделим $λ$ на $1$ .

$λ = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 7.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$λ = 1$