Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$

Этап 2

Единичная матрица размера $2$ представляет собой квадратную матрицу $2 \times 2$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] - λ I_{2})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{2}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 0.4 - λ & 1 - c + 0 \\ 0.6 + 0 & c - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $1 - c$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 0.4 - λ & 1 - c \\ 0.6 + 0 & c - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $0.6$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 0.4 - λ & 1 - c \\ 0.6 & c - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (0.4 - λ) (c - λ) - 0.6 (1 - c)$

Этап 5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Развернем $(0.4 - λ) (c - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0.4 (c - λ) - λ (c - λ) - 0.6 (1 - c)$

Этап 5.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0.4 c + 0.4 (- λ) - λ (c - λ) - 0.6 (1 - c)$

Этап 5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0.4 c + 0.4 (- λ) - λ c - λ (- λ) - 0.6 (1 - c)$

Этап 5.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $0.4$ .

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c - λ (- λ) - 0.6 (1 - c)$

Этап 5.2.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 0.6 (1 - c)$

Этап 5.2.1.2.3

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.3.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 0.6 (1 - c)$

Этап 5.2.1.2.3.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 0.6 (1 - c)$

Этап 5.2.1.2.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + 1 λ^{2} - 0.6 (1 - c)$

Этап 5.2.1.2.5

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6 (1 - c)$

Этап 5.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6 \cdot 1 - 0.6 (- c)$

Этап 5.2.1.4

Умножим $- 0.6$ на $1$ .

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6 - 0.6 (- c)$

Этап 5.2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 0.6$ .

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6 + 0.6 c$

Этап 5.2.2

Добавим $0.4 c$ и $0.6 c$ .

$p (λ) = c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6$

Этап 5.2.3

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = c - 0.4 λ - 1 c λ + λ^{2} - 0.6$

Этап 5.2.4

Перенесем $- 0.4 λ$ .

$p (λ) = c - 1 c λ + λ^{2} - 0.4 λ - 0.6$

Этап 5.2.5

Перенесем $c$ .

$p (λ) = - 1 c λ + λ^{2} + c - 0.4 λ - 0.6$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$- 1 c λ + λ^{2} + c - 0.4 λ - 0.6 = 0$

Этап 7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $- 1 c$ в виде $- c$ .

$- c λ + λ^{2} + c - 0.4 λ - 0.6 = 0$

Этап 7.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - c - 0.4$ и $c = c - 0.6$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $λ$ .

$\frac{- (- c - 0.4) \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (c - 0.6))}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.2

Умножим $- - c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$λ = \frac{1 c + 0.4 \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.2.2

Умножим $c$ на $1$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.3

Умножим $- 1$ на $- 0.4$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.4

Перепишем ${(- c - 0.4)}^{2}$ в виде $(- c - 0.4) (- c - 0.4)$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{(- c - 0.4) (- c - 0.4) - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.5

Развернем $(- c - 0.4) (- c - 0.4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- c (- c - 0.4) - 0.4 (- c - 0.4) - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- c (- c) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c - 0.4) - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- c (- c) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 c \cdot c) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.6.1.2

Умножим $c$ на $c$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.6.1.2.1

Перенесем $c$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (c \cdot c)) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.6.1.2.2

Умножим $c$ на $c$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 c^{2}) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.6.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{1 c^{2} - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.6.1.4

Умножим $c^{2}$ на $1$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.6.1.5

Умножим $- 0.4$ на $- 1$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.4 c - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.6.1.6

Умножим $- 1$ на $- 0.4$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.4 c + 0.4 c - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.6.1.7

Умножим $- 0.4$ на $- 0.4$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.4 c + 0.4 c + 0.16 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.6.2

Добавим $0.4 c$ и $0.4 c$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.8 c + 0.16 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.7

Умножим $- 4$ на $1$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.8 c + 0.16 - 4 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.8 c + 0.16 - 4 c - 4 \cdot - 0.6}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.9

Умножим $- 4$ на $- 0.6$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.8 c + 0.16 - 4 c + 2.4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.10

Вычтем $4 c$ из $0.8 c$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - 3.2 c + 0.16 + 2.4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.11

Добавим $0.16$ и $2.4$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - 3.2 c + 2.56}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.12

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.12.1

Перепишем $2.56$ в виде ${1.6}^{2}$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - 3.2 c + {1.6}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.12.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$3.2 c = 2 \cdot c \cdot 1.6$

Этап 7.4.1.12.3

Перепишем многочлен.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - 2 \cdot c \cdot 1.6 + {1.6}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.12.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = c$ и $b = 1.6$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{{(c - 1.6)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.13

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm (c - 1.6)}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm (c - 1.6)}{2}$

Этап 7.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$λ = \frac{5 c - 3}{5}$

$λ = 1$

$λ = \frac{5 c - 3}{5}$

$λ = 1$