Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 2

Единичная матрица размера $3$ представляет собой квадратную матрицу $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 + 0 & - 36 + 0 \\ 0 + 0 & - 3 - λ & 0 + 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 + 0 \\ 0 + 0 & - 3 - λ & 0 + 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $- 36$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 + 0 & - 3 - λ & 0 + 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 - λ & 0 + 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 - λ & 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.5

Добавим $- 36$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 - λ & 0 \\ - 36 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.6

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 - λ & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 36 \\ 0 & - 23 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 36 \\ 0 & - 23 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$

Этап 5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$

Этап 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 0 & - 36 \\ 0 & - 23 - λ \end{array} | + (- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$

Этап 5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & - 36 \\ 0 & - 23 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$

Этап 5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) ((- 2 - λ) (- 23 - λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Этап 5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Развернем $(- 2 - λ) (- 23 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (- 2 (- 23 - λ) - λ (- 23 - λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Этап 5.4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (- 2 \cdot - 23 - 2 (- λ) - λ (- 23 - λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Этап 5.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (- 2 \cdot - 23 - 2 (- λ) - λ \cdot - 23 - λ (- λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Этап 5.4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.2.1.1

Умножим $- 2$ на $- 23$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 - 2 (- λ) - λ \cdot - 23 - λ (- λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ - λ \cdot - 23 - λ (- λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.3

Умножим $- 23$ на $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ - λ (- λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ + 1 λ^{2} - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ + λ^{2} - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.2

Добавим $2 λ$ и $23 λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 25 λ + λ^{2} - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Этап 5.4.2.1.3

Умножим $- (- 36 \cdot - 36)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.3.1

Умножим $- 36$ на $- 36$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 25 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1296) + 0$

Этап 5.4.2.1.3.2

Умножим $- 1$ на $1296$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 25 λ + λ^{2} - 1296) + 0$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $1296$ из $46$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (25 λ + λ^{2} - 1250) + 0$

Этап 5.4.2.3

Изменим порядок $25 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250) + 0$

Этап 5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Объединим противоположные члены в $0 + (- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250) + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Добавим $0$ и $(- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250)$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250) + 0$

Этап 5.5.1.2

Добавим $(- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250)$ и $0$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250)$

Этап 5.5.2

Развернем $(- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 3 (25 λ) - 3 \cdot - 1250 - λ \cdot λ^{2} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

Этап 5.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Умножим $25$ на $- 3$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ - 3 \cdot - 1250 - λ \cdot λ^{2} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

Этап 5.5.3.2

Умножим $- 3$ на $- 1250$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ \cdot λ^{2} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

Этап 5.5.3.3

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.3.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - (λ^{2} λ) - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

Этап 5.5.3.3.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.3.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

Этап 5.5.3.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{2 + 1} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

Этап 5.5.3.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

Этап 5.5.3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 1 \cdot 25 λ \cdot λ - λ \cdot - 1250$

Этап 5.5.3.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 1 \cdot 25 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 1250$

Этап 5.5.3.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 1 \cdot 25 λ^{2} - λ \cdot - 1250$

Этап 5.5.3.6

Умножим $- 1$ на $25$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 25 λ^{2} - λ \cdot - 1250$

Этап 5.5.3.7

Умножим $- 1250$ на $- 1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 25 λ^{2} + 1250 λ$

Этап 5.5.4

Вычтем $25 λ^{2}$ из $- 3 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 28 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} + 1250 λ$

Этап 5.5.5

Добавим $- 75 λ$ и $1250 λ$ .

$p (λ) = - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750 - λ^{3}$

Этап 5.5.6

Перенесем $3750$ .

$p (λ) = - 28 λ^{2} + 1175 λ - λ^{3} + 3750$

Этап 5.5.7

Перенесем $1175 λ$ .

$p (λ) = - 28 λ^{2} - λ^{3} + 1175 λ + 3750$

Этап 5.5.8

Изменим порядок $- 28 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750 = 0$

Этап 7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Разложим $- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3750, \pm 2, \pm 1875, \pm 3, \pm 1250, \pm 5, \pm 750, \pm 6, \pm 625, \pm 10, \pm 375, \pm 15, \pm 250, \pm 25, \pm 150, \pm 30, \pm 125, \pm 50, \pm 75$

$q = \pm 1$

Этап 7.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 3750, \pm 2, \pm 1875, \pm 3, \pm 1250, \pm 5, \pm 750, \pm 6, \pm 625, \pm 10, \pm 375, \pm 15, \pm 250, \pm 25, \pm 150, \pm 30, \pm 125, \pm 50, \pm 75$

Этап 7.1.1.3

Подставим $- 3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1

Подставим $- 3$ в многочлен.

$- {(- 3)}^{3} - 28 {(- 3)}^{2} + 1175 \cdot - 3 + 3750$

Этап 7.1.1.3.2

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$- - 27 - 28 {(- 3)}^{2} + 1175 \cdot - 3 + 3750$

Этап 7.1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 27$ .

$27 - 28 {(- 3)}^{2} + 1175 \cdot - 3 + 3750$

Этап 7.1.1.3.4

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$27 - 28 \cdot 9 + 1175 \cdot - 3 + 3750$

Этап 7.1.1.3.5

Умножим $- 28$ на $9$ .

$27 - 252 + 1175 \cdot - 3 + 3750$

Этап 7.1.1.3.6

Вычтем $252$ из $27$ .

$- 225 + 1175 \cdot - 3 + 3750$

Этап 7.1.1.3.7

Умножим $1175$ на $- 3$ .

$- 225 - 3525 + 3750$

Этап 7.1.1.3.8

Вычтем $3525$ из $- 225$ .

$- 3750 + 3750$

Этап 7.1.1.3.9

Добавим $- 3750$ и $3750$ .

$0$

Этап 7.1.1.4

Поскольку $- 3$ — известный корень, разделим многочлен на $λ + 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750}{λ + 3}$

Этап 7.1.1.5

Разделим $- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750$ на $λ + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$1175 λ$

$3750$

Этап 7.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- λ^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$

Этап 7.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Этап 7.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- λ^{3} - 3 λ^{2}$ .

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Этап 7.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$

Этап 7.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$

Этап 7.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 25 λ^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$

Этап 7.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					-	$25 λ^{2}$	-	$75 λ$

Этап 7.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 25 λ^{2} - 75 λ$ .

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$

Этап 7.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$

Этап 7.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$

Этап 7.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $1250 λ$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$	+	$1250$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$

Этап 7.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$	+	$1250$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$
							+	$1250 λ$	+	$3750$

Этап 7.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $1250 λ + 3750$ .

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$	+	$1250$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$
							-	$1250 λ$	-	$3750$

Этап 7.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$	+	$1250$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$
							-	$1250 λ$	-	$3750$
										$0$

Этап 7.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- λ^{2} - 25 λ + 1250$

Этап 7.1.1.6

Запишем $- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750$ в виде набора множителей.

$(λ + 3) (- λ^{2} - 25 λ + 1250) = 0$

Этап 7.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 1250 = - 1250$ , а сумма — $b = - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 25$ из $- 25 λ$ .

$(λ + 3) (- λ^{2} - 25 λ + 1250) = 0$

Этап 7.1.2.1.1.2

Запишем $- 25$ как $25$ плюс $- 50$

$(λ + 3) (- λ^{2} + (25 - 50) λ + 1250) = 0$

Этап 7.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(λ + 3) (- λ^{2} + 25 λ - 50 λ + 1250) = 0$

Этап 7.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(λ + 3) ((- λ^{2} + 25 λ) - 50 λ + 1250) = 0$

Этап 7.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(λ + 3) (λ (- λ + 25) + 50 (- λ + 25)) = 0$

Этап 7.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- λ + 25$ .

$(λ + 3) ((- λ + 25) (λ + 50)) = 0$

Этап 7.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(λ + 3) (- λ + 25) (λ + 50) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$λ + 3 = 0$

$- λ + 25 = 0$

$λ + 50 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $λ + 3$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $λ + 3$ к $0$ .

$λ + 3 = 0$

Этап 7.3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$λ = - 3$

Этап 7.4

Приравняем $- λ + 25$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $- λ + 25$ к $0$ .

$- λ + 25 = 0$

Этап 7.4.2

Решим $- λ + 25 = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$- λ = - 25$

Этап 7.4.2.2

Разделим каждый член $- λ = - 25$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.1

Разделим каждый член $- λ = - 25$ на $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

Этап 7.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

Этап 7.4.2.2.2.2

Разделим $λ$ на $1$ .

$λ = \frac{- 25}{- 1}$

Этап 7.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.3.1

Разделим $- 25$ на $- 1$ .

$λ = 25$

Этап 7.5

Приравняем $λ + 50$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Приравняем $λ + 50$ к $0$ .

$λ + 50 = 0$

Этап 7.5.2

Вычтем $50$ из обеих частей уравнения.

$λ = - 50$

Этап 7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(λ + 3) (- λ + 25) (λ + 50) = 0$ верно.

$λ = - 3, 25, - 50$