Линейная алгебра Примеры

[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = определитель (A - λ I_{2})

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$

Этап 2

Единичная матрица размера

2

$2$ представляет собой квадратную матрицу

2 \times 2

$2 \times 2$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в

p (λ) = определитель (A - λ I_{2})

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим

[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}]$ вместо

A

$A$ .

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ I_{2})

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ I_{2})$

Этап 3.2

Подставим

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ вместо

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим

- λ

$- λ$ на каждый элемент матрицы.

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим

0

$0$ на

- 1

$- 1$ .

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим

0

$0$ на

λ

$λ$ .

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим

0

$0$ на

- 1

$- 1$ .

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим

0

$0$ на

λ

$λ$ .

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 + 0 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 + 0 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим

3

$3$ и

0

$0$ .

p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим

2

$2$ и

0

$0$ .

p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 & - 1 - λ \end{array}]

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 & - 1 - λ \end{array}]$

p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 & - 1 - λ \end{array}]

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 & - 1 - λ \end{array}]$

p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 & - 1 - λ \end{array}]

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 & - 1 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = (1 - λ) (- 1 - λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 - λ) - 2 \cdot 3$

Этап 5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Развернем

(1 - λ) (- 1 - λ)

$(1 - λ) (- 1 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

p (λ) = 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

p (λ) = - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.2.1.2

Умножим

- λ

$- λ$ на

1

$1$ .

p (λ) = - 1 - λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.2.1.3

Умножим

- λ \cdot - 1

$- λ \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.3.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

p (λ) = - 1 - λ + 1 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + 1 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.2.1.3.2

Умножим

λ

$λ$ на

1

$1$ .

p (λ) = - 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

p (λ) = - 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.2.1.5

Умножим

λ

$λ$ на

λ

$λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.5.1

Перенесем

λ

$λ$ .

p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.2.1.5.2

Умножим

λ

$λ$ на

λ

$λ$ .

p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 3$

p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.2.1.6

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

p (λ) = - 1 - λ + λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.2.1.7

Умножим

λ^{2}

$λ^{2}$ на

1

$1$ .

p (λ) = - 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 3$

p (λ) = - 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.2.2

Добавим

- λ

$- λ$ и

λ

$λ$ .

p (λ) = - 1 + 0 + λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 + 0 + λ^{2} - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.2.3

Добавим

- 1

$- 1$ и

0

$0$ .

p (λ) = - 1 + λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 2 \cdot 3$

p (λ) = - 1 + λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 2 \cdot 3$

Этап 5.2.1.3

Умножим

- 2

$- 2$ на

3

$3$ .

p (λ) = - 1 + λ^{2} - 6

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 6$

p (λ) = - 1 + λ^{2} - 6

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 6$

Этап 5.2.2

Вычтем

6

$6$ из

- 1

$- 1$ .

p (λ) = λ^{2} - 7

$p (λ) = λ^{2} - 7$

p (λ) = λ^{2} - 7

$p (λ) = λ^{2} - 7$

p (λ) = λ^{2} - 7

$p (λ) = λ^{2} - 7$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным

0

$0$ , чтобы найти собственные значения

λ

$λ$ .

λ^{2} - 7 = 0

$λ^{2} - 7 = 0$

Этап 7

Решим относительно

λ

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим

7

$7$ к обеим частям уравнения.

λ^{2} = 7

$λ^{2} = 7$

Этап 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

λ = \pm \sqrt{7}

$λ = \pm \sqrt{7}$

Этап 7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сначала с помощью положительного значения

\pm

$\pm$ найдем первое решение.

λ = \sqrt{7}

$λ = \sqrt{7}$

Этап 7.3.2

Затем, используя отрицательное значение

\pm

$\pm$ , найдем второе решение.

λ = - \sqrt{7}

$λ = - \sqrt{7}$

Этап 7.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}

$λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}

$λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}

$λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}

$λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Десятичная форма:

λ = 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots

$λ = 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots$