Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 2

Единичная матрица размера $3$ представляет собой квадратную матрицу $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 & 3 + 0 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 + 0 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $3$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.3

Добавим $4$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.4

Добавим $6$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.5

Добавим $7$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 7 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.6

Добавим $8$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 7 & 8 & 9 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2

Найдем значение $| \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((5 - λ) (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Развернем $(5 - λ) (9 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (5 (9 - λ) - λ (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (5 \cdot 9 + 5 (- λ) - λ (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (5 \cdot 9 + 5 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.1

Умножим $5$ на $9$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 + 5 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.3

Умножим $9$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ + 1 λ^{2} - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ + λ^{2} - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.2

Вычтем $9 λ$ из $- 5 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 14 λ + λ^{2} - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.3

Умножим $- 8$ на $6$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 14 λ + λ^{2} - 48) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $48$ из $45$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 14 λ + λ^{2} - 3) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.3

Изменим порядок $- 14 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (4 (9 - λ) - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (4 \cdot 9 + 4 (- λ) - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (36 + 4 (- λ) - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (36 - 4 λ - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.4

Умножим $- 7$ на $6$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (36 - 4 λ - 42) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.3.2.2

Вычтем $42$ из $36$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (4 \cdot 8 - 7 (5 - λ))$

Этап 5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Умножим $4$ на $8$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (32 - 7 (5 - λ))$

Этап 5.4.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (32 - 7 \cdot 5 - 7 (- λ))$

Этап 5.4.2.1.3

Умножим $- 7$ на $5$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (32 - 35 - 7 (- λ))$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (32 - 35 + 7 λ)$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $35$ из $32$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (- 3 + 7 λ)$

Этап 5.4.2.3

Изменим порядок $- 3$ и $7 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Этап 5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Развернем $(1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 14 λ) + 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Этап 5.5.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 14 λ) + 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Этап 5.5.1.2.2

Умножим $- 14 λ$ на $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ + 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Этап 5.5.1.2.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Этап 5.5.1.2.4

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.4.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - (λ^{2} λ) - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Этап 5.5.1.2.4.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.4.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Этап 5.5.1.2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{2 + 1} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Этап 5.5.1.2.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Этап 5.5.1.2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ \cdot λ - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Этап 5.5.1.2.6

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.6.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Этап 5.5.1.2.6.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ^{2} - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Этап 5.5.1.2.7

Умножим $- 1$ на $- 14$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} + 14 λ^{2} - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Этап 5.5.1.2.8

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} + 14 λ^{2} + 3 λ - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Этап 5.5.1.3

Добавим $λ^{2}$ и $14 λ^{2}$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} + 3 λ - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Этап 5.5.1.4

Добавим $- 14 λ$ и $3 λ$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Этап 5.5.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} - 2 (- 4 λ) - 2 \cdot - 6 + 3 (7 λ - 3)$

Этап 5.5.1.6

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ - 2 \cdot - 6 + 3 (7 λ - 3)$

Этап 5.5.1.7

Умножим $- 2$ на $- 6$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ + 12 + 3 (7 λ - 3)$

Этап 5.5.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ + 12 + 3 (7 λ) + 3 \cdot - 3$

Этап 5.5.1.9

Умножим $7$ на $3$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ + 12 + 21 λ + 3 \cdot - 3$

Этап 5.5.1.10

Умножим $3$ на $- 3$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ + 12 + 21 λ - 9$

Этап 5.5.2

Добавим $- 11 λ$ и $8 λ$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 3 λ - 3 - λ^{3} + 12 + 21 λ - 9$

Этап 5.5.3

Добавим $- 3 λ$ и $21 λ$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} + 18 λ - 3 - λ^{3} + 12 - 9$

Этап 5.5.4

Добавим $- 3$ и $12$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3} + 9 - 9$

Этап 5.5.5

Объединим противоположные члены в $15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3} + 9 - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Вычтем $9$ из $9$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3} + 0$

Этап 5.5.5.2

Добавим $15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3}$ и $0$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3}$

Этап 5.5.6

Перенесем $18 λ$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - λ^{3} + 18 λ$

Этап 5.5.7

Изменим порядок $15 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 15 λ^{2} + 18 λ$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$- λ^{3} + 15 λ^{2} + 18 λ = 0$

Этап 7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- λ$ из $- λ^{3} + 15 λ^{2} + 18 λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $- λ$ из $- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} + 15 λ^{2} + 18 λ = 0$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $- λ$ из $15 λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 15 λ) + 18 λ = 0$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $- λ$ из $18 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 15 λ) - λ \cdot - 18 = 0$

Этап 7.1.4

Вынесем множитель $- λ$ из $- λ (λ^{2}) - λ (- 15 λ)$ .

$- λ (λ^{2} - 15 λ) - λ \cdot - 18 = 0$

Этап 7.1.5

Вынесем множитель $- λ$ из $- λ (λ^{2} - 15 λ) - λ (- 18)$ .

$- λ (λ^{2} - 15 λ - 18) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$λ = 0$

$λ^{2} - 15 λ - 18 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $λ$ к $0$ .

$λ = 0$

Этап 7.4

Приравняем $λ^{2} - 15 λ - 18$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $λ^{2} - 15 λ - 18$ к $0$ .

$λ^{2} - 15 λ - 18 = 0$

Этап 7.4.2

Решим $λ^{2} - 15 λ - 18 = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 15$ и $c = - 18$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $λ$ .

$\frac{15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 18)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1.1

Возведем $- 15$ в степень $2$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot - 18}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot - 18}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 18$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 72}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.3

Добавим $225$ и $72$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{297}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.4

Перепишем $297$ в виде $3^{2} \cdot 33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $297$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{9 (33)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$λ = \frac{15 \pm 3 \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$λ = \frac{15 \pm 3 \sqrt{33}}{2}$

Этап 7.4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$λ = \frac{15 + 3 \sqrt{33}}{2}, \frac{15 - 3 \sqrt{33}}{2}$

Этап 7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $- λ (λ^{2} - 15 λ - 18) = 0$ верно.

$λ = 0, \frac{15 + 3 \sqrt{33}}{2}, \frac{15 - 3 \sqrt{33}}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$λ = 0, \frac{15 + 3 \sqrt{33}}{2}, \frac{15 - 3 \sqrt{33}}{2}$

Десятичная форма:

$λ = 0, 16.11684396 \dots, - 1.11684396 \dots$