Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 1.2

Единичная матрица размера $3$ представляет собой квадратную матрицу $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 1.3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Добавим $2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.3

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & 0 - λ & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.4

Вычтем $λ$ из $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - λ & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - λ & 1 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.6

Добавим $- 2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - λ & 1 \\ - 2 & - 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.7

Добавим $- 2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - λ & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.8

Вычтем $λ$ из $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - λ & 1 \\ - 2 & - 2 & - λ \end{array}]$

Этап 1.5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Этап 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Этап 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2

Найдем значение $| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ (- λ) - (- 2 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 2 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.2

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.2.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 2 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.2.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 2 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (1 λ^{2} - (- 2 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.4

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - (- 2 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.5

Умножим $- (- 2 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.5.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - - 2) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.5.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Этап 1.5.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (1 (- λ) - (- 2 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Умножим $- λ$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ - (- 2 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.2

Умножим $- (- 2 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ - - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.2.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Этап 1.5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 (1 \cdot - 2 - (- 2 (- λ)))$

Этап 1.5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 - (- 2 (- λ)))$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 - (2 λ))$

Этап 1.5.4.2.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 - 2 λ)$

Этап 1.5.4.2.2

Изменим порядок $- 2$ и $- 2 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

Этап 1.5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1.1

Развернем $(1 - λ) (λ^{2} + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 1 (λ^{2} + 2) - λ (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

Этап 1.5.5.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 \cdot 2 - λ (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

Этап 1.5.5.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 \cdot 2 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot 2 - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

Этап 1.5.5.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1.2.1

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 \cdot 2 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot 2 - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

Этап 1.5.5.1.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot 2 - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

Этап 1.5.5.1.2.3

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1.2.3.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} + 2 - (λ^{2} λ) - λ \cdot 2 - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

Этап 1.5.5.1.2.3.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1.2.3.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 2 - (λ^{2} λ^{1}) - λ \cdot 2 - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

Этап 1.5.5.1.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{2 + 1} - λ \cdot 2 - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

Этап 1.5.5.1.2.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - λ \cdot 2 - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

Этап 1.5.5.1.2.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

Этап 1.5.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ - 2 (- λ) - 2 \cdot 2 - 1 (- 2 λ - 2)$

Этап 1.5.5.1.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ + 2 λ - 2 \cdot 2 - 1 (- 2 λ - 2)$

Этап 1.5.5.1.5

Умножим $- 2$ на $2$ .

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ + 2 λ - 4 - 1 (- 2 λ - 2)$

Этап 1.5.5.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ + 2 λ - 4 - 1 (- 2 λ) - 1 \cdot - 2$

Этап 1.5.5.1.7

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ + 2 λ - 4 + 2 λ - 1 \cdot - 2$

Этап 1.5.5.1.8

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ + 2 λ - 4 + 2 λ + 2$

Этап 1.5.5.2

Объединим противоположные члены в $λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ + 2 λ - 4 + 2 λ + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.1

Добавим $- 2 λ$ и $2 λ$ .

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} + 0 - 4 + 2 λ + 2$

Этап 1.5.5.2.2

Добавим $λ^{2} + 2 - λ^{3}$ и $0$ .

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 4 + 2 λ + 2$

Этап 1.5.5.3

Вычтем $4$ из $2$ .

$p (λ) = λ^{2} - λ^{3} - 2 + 2 λ + 2$

Этап 1.5.5.4

Объединим противоположные члены в $λ^{2} - λ^{3} - 2 + 2 λ + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$p (λ) = λ^{2} - λ^{3} + 2 λ + 0$

Этап 1.5.5.4.2

Добавим $λ^{2} - λ^{3} + 2 λ$ и $0$ .

$p (λ) = λ^{2} - λ^{3} + 2 λ$

Этап 1.5.5.5

Изменим порядок $λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + 2 λ$

Этап 1.6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$- λ^{3} + λ^{2} + 2 λ = 0$

Этап 1.7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Вынесем множитель $- λ$ из $- λ^{3} + λ^{2} + 2 λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.1

Вынесем множитель $- λ$ из $- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} + λ^{2} + 2 λ = 0$

Этап 1.7.1.1.2

Вынесем множитель $- λ$ из $λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- λ) + 2 λ = 0$

Этап 1.7.1.1.3

Вынесем множитель $- λ$ из $2 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- λ) - λ \cdot - 2 = 0$

Этап 1.7.1.1.4

Вынесем множитель $- λ$ из $- λ (λ^{2}) - λ (- λ)$ .

$- λ (λ^{2} - λ) - λ \cdot - 2 = 0$

Этап 1.7.1.1.5

Вынесем множитель $- λ$ из $- λ (λ^{2} - λ) - λ (- 2)$ .

$- λ (λ^{2} - λ - 2) = 0$

Этап 1.7.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1

Разложим $λ^{2} - λ - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 1.7.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- λ ((λ - 2) (λ + 1)) = 0$

Этап 1.7.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- λ (λ - 2) (λ + 1) = 0$

Этап 1.7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$λ = 0$

$λ - 2 = 0$

$λ + 1 = 0$

Этап 1.7.3

Приравняем $λ$ к $0$ .

$λ = 0$

Этап 1.7.4

Приравняем $λ - 2$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Приравняем $λ - 2$ к $0$ .

$λ - 2 = 0$

Этап 1.7.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$λ = 2$

Этап 1.7.5

Приравняем $λ + 1$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Приравняем $λ + 1$ к $0$ .

$λ + 1 = 0$

Этап 1.7.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$λ = - 1$

Этап 1.7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- λ (λ - 2) (λ + 1) = 0$ верно.

$λ = 0, 2, - 1$

Этап 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Этап 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $0$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим $0$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.3

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.4

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.5

Умножим $0$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.6

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.7

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.8

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.9

Умножим $0$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.2

Добавим $2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.3

Добавим $- 1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.4

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.5

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.6

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.7

Добавим $- 2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.8

Добавим $- 2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.9

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 2 & 1 + 1 & 0 - 0 \\ - 2 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ - 2 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 2 + 2 \cdot 2 & 0 + 2 \cdot - 1 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & - 2 - 2 \cdot - 1 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.4.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot - 1 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.5.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Этап 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ z \\ z \end{array}]$

Этап 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Этап 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $- 2$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.3

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.4

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.6

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.7

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.8

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.9

Умножим $- 2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 1 - 2 & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.2

Добавим $2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.3

Добавим $- 1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 \\ 1 + 0 & 0 - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.4

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.5

Вычтем $2$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 \\ 1 & - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.7

Добавим $- 2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 2 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.8

Добавим $- 2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.9

Вычтем $2$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 2 & - 2 & - 2 \end{array}]$

Этап 4.3

Find the null space when $λ = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 2 & - - 1 & - 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & - 2 + 2 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 2 + 2 \cdot - 2 & - 2 + 2 \cdot 1 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.4

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.5

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{6} \cdot 0 & - \frac{1}{6} \cdot - 6 & - \frac{1}{6} \cdot 0 & - \frac{1}{6} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.5.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot 0 & 0 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.6.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Этап 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ 0 \\ z \end{array}]$

Этап 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Этап 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 1 + 1 & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 1 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Этап 5.2.2

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $1$ и $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 1 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Этап 5.2.2.2

Добавим $2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 1 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Этап 5.2.2.3

Добавим $- 1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 \\ 1 + 0 & 0 + 1 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Этап 5.2.2.4

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 + 1 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Этап 5.2.2.5

Добавим $0$ и $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Этап 5.2.2.6

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Этап 5.2.2.7

Добавим $- 2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 2 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Этап 5.2.2.8

Добавим $- 2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 + 1 \end{array}]$

Этап 5.2.2.9

Добавим $0$ и $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 2 & - 2 & 1 \end{array}]$

Этап 5.3

Find the null space when $λ = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{2}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{0}{2} \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 1 + \frac{1}{2} & 0 - 0 \\ - 2 & - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{2} & 0 \\ - 2 & - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{2} & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 (- \frac{1}{2}) & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{2}{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{2}{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} & \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 & 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.5.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

Этап 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \\ 0 \end{array}]$

Этап 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Этап 5.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | y \in R}$

Этап 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Этап 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$