Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{4})$

Этап 1.2

Единичная матрица размера $4$ представляет собой квадратную матрицу $4 \times 4$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] - λ I_{4})$

Этап 1.3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{4}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.5

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.5.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.5.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.9

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.9.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.9.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.10

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.10.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.10.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.12

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.12.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.12.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.13

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.13.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.13.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.14

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.14.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.14.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.15

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.15.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.15.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.16

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & - 5 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Добавим $- 5$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.5

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.6

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.7

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.8

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.9

Вычтем $λ$ из $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.11

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.12

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.13

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.14

Вычтем $λ$ из $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}]$

Этап 1.5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Этап 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.9

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$

Этап 1.5.1.10

Multiply element $a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$

Этап 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$

Этап 1.5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$

Этап 1.5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$

Этап 1.5.4

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - λ \\ 0 & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - λ \\ 0 & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (- λ (- λ) + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (- 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (- 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (- 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.4

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.5

Умножим $0$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.2

Добавим $λ^{2}$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) λ^{2} + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.5.1

Объединим противоположные члены в $(1 - λ) λ^{2} + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.5.1.1

Добавим $(1 - λ) λ^{2}$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) λ^{2} + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.1.2

Добавим $(1 - λ) λ^{2}$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (1 λ^{2} - λ \cdot λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - λ \cdot λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.4

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.5.4.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - (λ^{2} λ)) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.4.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.5.4.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - (λ^{2} λ^{1})) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - λ^{2 + 1}) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.5

Изменим порядок $λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.6

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1

Объединим противоположные члены в $(1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2}) + 0 + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1.1

Добавим $(1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2})$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2}) + 0 + 0$

Этап 1.5.6.1.2

Добавим $(1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2})$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2}) + 0$

Этап 1.5.6.1.3

Добавим $(1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2})$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2})$

Этап 1.5.6.2

Развернем $(1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 1 (- λ^{3} + λ^{2}) - λ (- λ^{3} + λ^{2})$

Этап 1.5.6.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 λ^{2} - λ (- λ^{3} + λ^{2})$

Этап 1.5.6.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 λ^{2} - λ (- λ^{3}) - λ \cdot λ^{2}$

Этап 1.5.6.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.3.1.1

Умножим $- λ^{3}$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 1 λ^{2} - λ (- λ^{3}) - λ \cdot λ^{2}$

Этап 1.5.6.3.1.2

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - λ (- λ^{3}) - λ \cdot λ^{2}$

Этап 1.5.6.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ \cdot λ^{2}$

Этап 1.5.6.3.1.4

Умножим $λ$ на $λ^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.3.1.4.1

Перенесем $λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ \cdot λ^{2}$

Этап 1.5.6.3.1.4.2

Умножим $λ^{3}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.3.1.4.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ \cdot λ^{2}$

Этап 1.5.6.3.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ \cdot λ^{2}$

Этап 1.5.6.3.1.4.3

Добавим $3$ и $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ \cdot λ^{2}$

Этап 1.5.6.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + 1 λ^{4} - λ \cdot λ^{2}$

Этап 1.5.6.3.1.6

Умножим $λ^{4}$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - λ \cdot λ^{2}$

Этап 1.5.6.3.1.7

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.3.1.7.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - (λ^{2} λ)$

Этап 1.5.6.3.1.7.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.3.1.7.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - (λ^{2} λ^{1})$

Этап 1.5.6.3.1.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - λ^{2 + 1}$

Этап 1.5.6.3.1.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - λ^{3}$

Этап 1.5.6.3.2

Вычтем $λ^{3}$ из $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + λ^{2} + λ^{4}$

Этап 1.5.6.4

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + λ^{4} + λ^{2}$

Этап 1.5.6.5

Изменим порядок $- 2 λ^{3}$ и $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 2 λ^{3} + λ^{2}$

Этап 1.6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$λ^{4} - 2 λ^{3} + λ^{2} = 0$

Этап 1.7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Вынесем множитель $λ^{2}$ из $λ^{4} - 2 λ^{3} + λ^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.1

Вынесем множитель $λ^{2}$ из $λ^{4}$ .

$λ^{2} λ^{2} - 2 λ^{3} + λ^{2} = 0$

Этап 1.7.1.1.2

Вынесем множитель $λ^{2}$ из $- 2 λ^{3}$ .

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (- 2 λ) + λ^{2} = 0$

Этап 1.7.1.1.3

Умножим на $1$ .

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (- 2 λ) + λ^{2} \cdot 1 = 0$

Этап 1.7.1.1.4

Вынесем множитель $λ^{2}$ из $λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (- 2 λ)$ .

$λ^{2} (λ^{2} - 2 λ) + λ^{2} \cdot 1 = 0$

Этап 1.7.1.1.5

Вынесем множитель $λ^{2}$ из $λ^{2} (λ^{2} - 2 λ) + λ^{2} \cdot 1$ .

$λ^{2} (λ^{2} - 2 λ + 1) = 0$

Этап 1.7.1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$λ^{2} (λ^{2} - 2 λ + 1^{2}) = 0$

Этап 1.7.1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 λ = 2 \cdot λ \cdot 1$

Этап 1.7.1.2.3

Перепишем многочлен.

$λ^{2} (λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 1.7.1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = λ$ и $b = 1$ .

$λ^{2} {(λ - 1)}^{2} = 0$

Этап 1.7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$λ^{2} = 0$

${(λ - 1)}^{2} = 0$

Этап 1.7.3

Приравняем $λ^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Приравняем $λ^{2}$ к $0$ .

$λ^{2} = 0$

Этап 1.7.3.2

Решим $λ^{2} = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{0}$

Этап 1.7.3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$λ = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 1.7.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$λ = \pm 0$

Этап 1.7.3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$λ = 0$

Этап 1.7.4

Приравняем ${(λ - 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Приравняем ${(λ - 1)}^{2}$ к $0$ .

${(λ - 1)}^{2} = 0$

Этап 1.7.4.2

Решим ${(λ - 1)}^{2} = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.1

Приравняем $λ - 1$ к $0$ .

$λ - 1 = 0$

Этап 1.7.4.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$λ = 1$

Этап 1.7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $λ^{2} {(λ - 1)}^{2} = 0$ верно.

$λ = 0, 1$

Этап 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

Этап 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $0$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим $0$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.3

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.4

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.5

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.6

Умножим $0$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.7

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.8

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.9

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.10

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.11

Умножим $0$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.12

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.13

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.14

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.15

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.16

Умножим $0$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 + 0 & - 5 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.3

Добавим $- 5$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.4

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.5

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.6

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.7

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.8

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.9

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.10

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.11

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.12

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.13

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.14

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.15

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.16

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} - 5 x_{3} = 0$

$x_{2} = 0$

$x_{4} = 0$

$0 = 0$

Этап 3.3.3

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 x_{3} \\ 0 \\ x_{3} \\ 0 \end{array}]$

Этап 3.3.4

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{3} [\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Этап 3.3.5

Write as a solution set.

${x_{3} [\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{3} \in R}$

Этап 3.3.6

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Этап 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & 0 - 0 & - 5 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 - 0 & - 5 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.3

Вычтем $0$ из $- 5$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.4

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.5

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.6

Вычтем $1$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.7

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.8

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.9

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.10

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.11

Вычтем $1$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.12

Вычтем $0$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.13

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.14

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.15

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.16

Вычтем $1$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{array}]$

Этап 4.3

Find the null space when $λ = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{2}$ to make the entry at $4, 4$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{2}$ to make the entry at $4, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.4.2

Упростим $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{3} = 0$

$x_{4} = 0$

$0 = 0$

Этап 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Этап 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{1} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{2} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Этап 4.3.6

Write as a solution set.

${x_{1} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{2} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] | x_{1}, x_{2} \in R}$

Этап 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Этап 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$