Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{4})$

Этап 1.2

Единичная матрица размера $4$ представляет собой квадратную матрицу $4 \times 4$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] - λ I_{4})$

Этап 1.3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{4}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.5

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.5.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.5.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.9

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.9.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.9.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.10

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.10.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.10.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.12

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.12.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.12.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.13

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.13.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.13.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.14

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.14.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.14.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.15

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.15.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.15.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.16

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.5

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.7

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.8

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.9

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.10

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.11

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.12

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Этап 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 2 - λ \\ 0 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 2 - λ \\ 0 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 2 - λ \\ 0 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 2 - λ \\ 0 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 2 - λ \\ 0 & 1 & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.4

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 2 - λ \\ 0 & 1 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.5.5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (2 - λ) (0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + (2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) ((1 - λ) (1 - λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.2.1.1

Развернем $(1 - λ) (1 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.2

Умножим $- λ$ на $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - λ - λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - λ - λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - λ - λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.2

Вычтем $λ$ из $- λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} - 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.2

Объединим противоположные члены в $1 - 2 λ + λ^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (- 2 λ + λ^{2} + 0) + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.2.2

Добавим $- 2 λ + λ^{2}$ и $0$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (- 2 λ + λ^{2}) + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.3

Изменим порядок $- 2 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (λ^{2} - 2 λ) + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.5.1

Объединим противоположные члены в $0 + (2 - λ) (λ^{2} - 2 λ) + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.5.1.1

Добавим $0$ и $(2 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 2 λ) + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.1.2

Добавим $(2 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ и $0$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.2

Развернем $(2 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (2 - λ) (2 (λ^{2} - 2 λ) - λ (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} + 2 (- 2 λ) - λ (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} + 2 (- 2 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.5.3.1.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3.1.2

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.5.3.1.2.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3.1.2.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.5.3.1.2.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - λ^{3} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3.1.4

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.5.3.1.4.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ)) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3.1.4.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - λ^{3} + 2 λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3.2

Добавим $2 λ^{2}$ и $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 λ^{2} - 4 λ - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.4

Перенесем $- 4 λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 λ^{2} - λ^{3} - 4 λ) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.5

Изменим порядок $4 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ) + 0 + 0 + 0$

Этап 1.5.6

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1

Объединим противоположные члены в $(2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ) + 0 + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1.1

Добавим $(2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ)$ и $0$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ) + 0 + 0$

Этап 1.5.6.1.2

Добавим $(2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ)$ и $0$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ) + 0$

Этап 1.5.6.1.3

Добавим $(2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ)$ и $0$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ)$

Этап 1.5.6.2

Развернем $(2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = 2 (- λ^{3}) + 2 (4 λ^{2}) + 2 (- 4 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

Этап 1.5.6.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 2 (4 λ^{2}) + 2 (- 4 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

Этап 1.5.6.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} + 2 (- 4 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

Этап 1.5.6.3.3

Умножим $- 4$ на $2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ - λ (- λ^{3}) - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

Этап 1.5.6.3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

Этап 1.5.6.3.5

Умножим $λ$ на $λ^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.3.5.1

Перенесем $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

Этап 1.5.6.3.5.2

Умножим $λ^{3}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.3.5.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

Этап 1.5.6.3.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

Этап 1.5.6.3.5.3

Добавим $3$ и $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

Этап 1.5.6.3.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + 1 λ^{4} - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

Этап 1.5.6.3.7

Умножим $λ^{4}$ на $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

Этап 1.5.6.3.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 1 \cdot 4 λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ)$

Этап 1.5.6.3.9

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.3.9.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 1 \cdot 4 (λ^{2} λ) - λ (- 4 λ)$

Этап 1.5.6.3.9.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.3.9.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 1 \cdot 4 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 4 λ)$

Этап 1.5.6.3.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 1 \cdot 4 λ^{2 + 1} - λ (- 4 λ)$

Этап 1.5.6.3.9.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 1 \cdot 4 λ^{3} - λ (- 4 λ)$

Этап 1.5.6.3.10

Умножим $- 1$ на $4$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 4 λ^{3} - λ (- 4 λ)$

Этап 1.5.6.3.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 4 λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ \cdot λ$

Этап 1.5.6.3.12

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.3.12.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 4 λ^{3} - 1 \cdot - 4 (λ \cdot λ)$

Этап 1.5.6.3.12.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 4 λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ^{2}$

Этап 1.5.6.3.13

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 4 λ^{3} + 4 λ^{2}$

Этап 1.5.6.4

Вычтем $4 λ^{3}$ из $- 2 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} + 4 λ^{2}$

Этап 1.5.6.5

Добавим $8 λ^{2}$ и $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - 8 λ + λ^{4}$

Этап 1.5.6.6

Перенесем $- 8 λ$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} + λ^{4} - 8 λ$

Этап 1.5.6.7

Перенесем $12 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + λ^{4} + 12 λ^{2} - 8 λ$

Этап 1.5.6.8

Изменим порядок $- 6 λ^{3}$ и $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - 8 λ$

Этап 1.6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$λ^{4} - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - 8 λ = 0$

Этап 1.7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Вынесем множитель $λ$ из $λ^{4} - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - 8 λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.1

Вынесем множитель $λ$ из $λ^{4}$ .

$λ \cdot λ^{3} - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - 8 λ = 0$

Этап 1.7.1.1.2

Вынесем множитель $λ$ из $- 6 λ^{3}$ .

$λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2}) + 12 λ^{2} - 8 λ = 0$

Этап 1.7.1.1.3

Вынесем множитель $λ$ из $12 λ^{2}$ .

$λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2}) + λ (12 λ) - 8 λ = 0$

Этап 1.7.1.1.4

Вынесем множитель $λ$ из $- 8 λ$ .

$λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2}) + λ (12 λ) + λ \cdot - 8 = 0$

Этап 1.7.1.1.5

Вынесем множитель $λ$ из $λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2})$ .

$λ (λ^{3} - 6 λ^{2}) + λ (12 λ) + λ \cdot - 8 = 0$

Этап 1.7.1.1.6

Вынесем множитель $λ$ из $λ (λ^{3} - 6 λ^{2}) + λ (12 λ)$ .

$λ (λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ) + λ \cdot - 8 = 0$

Этап 1.7.1.1.7

Вынесем множитель $λ$ из $λ (λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ) + λ \cdot - 8$ .

$λ (λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ - 8) = 0$

Этап 1.7.1.2

Разложим $λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ - 8$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 1.7.1.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Этап 1.7.1.2.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Этап 1.7.1.2.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Этап 1.7.1.2.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

Этап 1.7.1.2.3.4

Умножим $- 6$ на $4$ .

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

Этап 1.7.1.2.3.5

Вычтем $24$ из $8$ .

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

Этап 1.7.1.2.3.6

Умножим $12$ на $2$ .

$- 16 + 24 - 8$

Этап 1.7.1.2.3.7

Добавим $- 16$ и $24$ .

$8 - 8$

Этап 1.7.1.2.3.8

Вычтем $8$ из $8$ .

$0$

Этап 1.7.1.2.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $λ - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ - 8}{λ - 2}$

Этап 1.7.1.2.5

Разделим $λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ - 8$ на $λ - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$12 λ$

$8$

Этап 1.7.1.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $λ^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$

Этап 1.7.1.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

Этап 1.7.1.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $λ^{3} - 2 λ^{2}$ .

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

Этап 1.7.1.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$

Этап 1.7.1.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$

Этап 1.7.1.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 λ^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$

Этап 1.7.1.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$

Этап 1.7.1.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 λ^{2} + 8 λ$ .

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$

Этап 1.7.1.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$

Этап 1.7.1.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$	-	$8$

Этап 1.7.1.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 λ$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$4$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$	-	$8$

Этап 1.7.1.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$4$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$	-	$8$
							+	$4 λ$	-	$8$

Этап 1.7.1.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 λ - 8$ .

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$4$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$	-	$8$
							-	$4 λ$	+	$8$

Этап 1.7.1.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$4$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$	-	$8$
							-	$4 λ$	+	$8$
										$0$

Этап 1.7.1.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$λ^{2} - 4 λ + 4$

Этап 1.7.1.2.6

Запишем $λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ - 8$ в виде набора множителей.

$λ ((λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 4)) = 0$

Этап 1.7.1.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$λ ((λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 2^{2})) = 0$

Этап 1.7.1.3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 λ = 2 \cdot λ \cdot 2$

Этап 1.7.1.3.3

Перепишем многочлен.

$λ ((λ - 2) (λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Этап 1.7.1.3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = λ$ и $b = 2$ .

$λ ((λ - 2) {(λ - 2)}^{2}) = 0$

Этап 1.7.1.4

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.4.1

Возведем $λ - 2$ в степень $1$ .

$λ ((λ - 2) {(λ - 2)}^{2}) = 0$

Этап 1.7.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$λ {(λ - 2)}^{1 + 2} = 0$

Этап 1.7.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$λ {(λ - 2)}^{3} = 0$

Этап 1.7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$λ = 0$

${(λ - 2)}^{3} = 0$

Этап 1.7.3

Приравняем $λ$ к $0$ .

$λ = 0$

Этап 1.7.4

Приравняем ${(λ - 2)}^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Приравняем ${(λ - 2)}^{3}$ к $0$ .

${(λ - 2)}^{3} = 0$

Этап 1.7.4.2

Решим ${(λ - 2)}^{3} = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.1

Приравняем $λ - 2$ к $0$ .

$λ - 2 = 0$

Этап 1.7.4.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$λ = 2$

Этап 1.7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $λ {(λ - 2)}^{3} = 0$ верно.

$λ = 0, 2$

Этап 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

Этап 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $0$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим $0$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.3

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.4

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.5

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.6

Умножим $0$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.7

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.8

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.9

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.10

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.11

Умножим $0$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.12

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.13

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.14

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.15

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.16

Умножим $0$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Добавим $2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.4

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.5

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.6

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.7

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.8

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.9

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.10

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.11

Добавим $2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.12

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.13

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.14

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.15

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.16

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} = 0$

$x_{2} + x_{4} = 0$

$x_{3} = 0$

$0 = 0$

Этап 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ - x_{4} \\ 0 \\ x_{4} \end{array}]$

Этап 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Этап 3.3.6

Write as a solution set.

${x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | x_{4} \in R}$

Этап 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $- 2$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.3

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.4

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.5

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.7

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.8

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.9

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.10

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.11

Умножим $- 2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.12

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.13

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.14

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.15

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.16

Умножим $- 2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 2 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.5

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.6

Вычтем $2$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.7

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.8

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.9

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.10

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.11

Вычтем $2$ из $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.12

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.13

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.14

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.15

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.16

Вычтем $2$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Этап 4.3

Find the null space when $λ = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - 0 & - - 1 & - 0 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & - 1 + 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3.2

Упростим $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{2} - x_{4} = 0$

$0 = 0$

Этап 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{4} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}]$

Этап 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{1} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Этап 4.3.6

Write as a solution set.

${x_{1} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{1}, x_{3}, x_{4} \in R}$

Этап 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Этап 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$