Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{4})$

Этап 1.2

Единичная матрица размера $4$ представляет собой квадратную матрицу $4 \times 4$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] - λ I_{4})$

Этап 1.3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{4}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.5

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.5.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.5.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.9

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.9.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.9.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.10

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.10.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.10.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.12

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.12.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.12.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.13

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.13.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.13.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.14

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.14.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.14.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.15

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.15.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.15.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.16

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Добавим $- 5$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 + 0 & - 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.4

Добавим $- 5$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.5

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 - λ & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.6

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.7

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.8

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.9

Добавим $- 5$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.10

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.11

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.12

Добавим $- 5$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Этап 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & - 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 5 \\ 0 & 0 & - 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 5 & - 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 5 \\ 0 & 0 & - 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & - 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 3 - λ \\ 0 & 0 & - 5 \end{array} |$

Этап 1.5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 5 & - 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 3 - λ \\ 0 & 0 & - 5 \end{array} |$

Этап 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 5 & - 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 5 \\ 0 & 0 & - 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 5 & - 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 3 - λ \\ 0 & 0 & - 5 \end{array} |$

Этап 1.5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} - 5 & - 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 5 \\ 0 & 0 & - 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 5 & - 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 3 - λ \\ 0 & 0 & - 5 \end{array} |$

Этап 1.5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} - 5 & - 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 3 - λ \\ 0 & 0 & - 5 \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.5.4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.4.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 5 \\ 0 & - 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.4.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 \\ 0 & - 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.4.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 - λ \\ 0 & - 5 \end{array} |$

Этап 1.5.4.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 3 - λ \\ 0 & - 5 \end{array} |$

Этап 1.5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 \\ 0 & - 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 3 - λ \\ 0 & - 5 \end{array} |) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & - 5 \\ 0 & - 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 3 - λ \\ 0 & - 5 \end{array} |) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & - 3 - λ \\ 0 & - 5 \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) ((- 3 - λ) (- 3 - λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.4.2.1.1

Развернем $(- 3 - λ) (- 3 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (- 3 (- 3 - λ) - λ (- 3 - λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (- 3 \cdot - 3 - 3 (- λ) - λ (- 3 - λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (- 3 \cdot - 3 - 3 (- λ) - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.4.2.1.2.1.1

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (9 - 3 (- λ) - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.4.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (9 + 3 λ - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.4.2.1.2.1.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (9 + 3 λ + 3 λ - λ (- λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (9 + 3 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.4.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.4.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (9 + 3 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.4.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (9 + 3 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.4.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (9 + 3 λ + 3 λ + 1 λ^{2} - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.4.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (9 + 3 λ + 3 λ + λ^{2} - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.4.2.1.2.2

Добавим $3 λ$ и $3 λ$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (9 + 6 λ + λ^{2} - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.4.2.1.3

Умножим $- (- 5 \cdot - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.4.2.1.3.1

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (9 + 6 λ + λ^{2} - 1 \cdot 25) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.4.2.1.3.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (9 + 6 λ + λ^{2} - 25) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.4.2.2

Вычтем $25$ из $9$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (6 λ + λ^{2} - 16) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.4.2.3

Изменим порядок $6 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (λ^{2} + 6 λ - 16) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.5.1

Объединим противоположные члены в $(- 3 - λ) (λ^{2} + 6 λ - 16) + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.5.1.1

Добавим $(- 3 - λ) (λ^{2} + 6 λ - 16)$ и $0$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (λ^{2} + 6 λ - 16) + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.5.1.2

Добавим $(- 3 - λ) (λ^{2} + 6 λ - 16)$ и $0$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (λ^{2} + 6 λ - 16)) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.5.2

Развернем $(- 3 - λ) (λ^{2} + 6 λ - 16)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 3 (6 λ) - 3 \cdot - 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (6 λ) - λ \cdot - 16) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.5.3.1

Умножим $6$ на $- 3$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 18 λ - 3 \cdot - 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (6 λ) - λ \cdot - 16) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.5.3.2

Умножим $- 3$ на $- 16$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 18 λ + 48 - λ \cdot λ^{2} - λ (6 λ) - λ \cdot - 16) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.5.3.3

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.5.3.3.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 18 λ + 48 - (λ^{2} λ) - λ (6 λ) - λ \cdot - 16) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.5.3.3.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.5.3.3.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 18 λ + 48 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (6 λ) - λ \cdot - 16) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.5.3.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 18 λ + 48 - λ^{2 + 1} - λ (6 λ) - λ \cdot - 16) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.5.3.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 18 λ + 48 - λ^{3} - λ (6 λ) - λ \cdot - 16) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.5.3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 18 λ + 48 - λ^{3} - 1 \cdot 6 λ \cdot λ - λ \cdot - 16) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.5.3.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.5.3.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 18 λ + 48 - λ^{3} - 1 \cdot 6 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 16) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.5.3.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 18 λ + 48 - λ^{3} - 1 \cdot 6 λ^{2} - λ \cdot - 16) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.5.3.6

Умножим $- 1$ на $6$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 18 λ + 48 - λ^{3} - 6 λ^{2} - λ \cdot - 16) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.5.3.7

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 18 λ + 48 - λ^{3} - 6 λ^{2} + 16 λ) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.5.4

Вычтем $6 λ^{2}$ из $- 3 λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 9 λ^{2} - 18 λ + 48 - λ^{3} + 16 λ) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.5.5

Добавим $- 18 λ$ и $16 λ$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 9 λ^{2} - 2 λ + 48 - λ^{3}) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.5.6

Перенесем $48$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 9 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} + 48) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.5.7

Перенесем $- 2 λ$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 9 λ^{2} - λ^{3} - 2 λ + 48) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4.5.8

Изменим порядок $- 9 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.5

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 5 | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 5 \\ 0 & - 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 \\ 0 & - 3 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 - λ \\ 0 & - 5 \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 3 - λ \\ 0 & - 5 \end{array} |$

Этап 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 \\ 0 & - 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 3 - λ \\ 0 & - 5 \end{array} |) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & - 5 \\ 0 & - 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 3 - λ \\ 0 & - 5 \end{array} |) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & - 3 - λ \\ 0 & - 5 \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 ((- 3 - λ) (- 3 - λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.2.1.1

Развернем $(- 3 - λ) (- 3 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (- 3 (- 3 - λ) - λ (- 3 - λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (- 3 \cdot - 3 - 3 (- λ) - λ (- 3 - λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (- 3 \cdot - 3 - 3 (- λ) - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.1

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (9 - 3 (- λ) - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (9 + 3 λ - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (9 + 3 λ + 3 λ - λ (- λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (9 + 3 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (9 + 3 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (9 + 3 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (9 + 3 λ + 3 λ + 1 λ^{2} - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (9 + 3 λ + 3 λ + λ^{2} - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.2.2

Добавим $3 λ$ и $3 λ$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (9 + 6 λ + λ^{2} - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.3

Умножим $- (- 5 \cdot - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.2.1.3.1

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (9 + 6 λ + λ^{2} - 1 \cdot 25) + 0 + 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.1.3.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (9 + 6 λ + λ^{2} - 25) + 0 + 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.2

Вычтем $25$ из $9$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (6 λ + λ^{2} - 16) + 0 + 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.4.2.3

Изменим порядок $6 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (λ^{2} + 6 λ - 16) + 0 + 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.5.1

Объединим противоположные члены в $- 5 (λ^{2} + 6 λ - 16) + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.5.1.1

Добавим $- 5 (λ^{2} + 6 λ - 16)$ и $0$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (λ^{2} + 6 λ - 16) + 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.1.2

Добавим $- 5 (λ^{2} + 6 λ - 16)$ и $0$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (λ^{2} + 6 λ - 16)) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 λ^{2} - 5 (6 λ) - 5 \cdot - 16) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.5.3.1

Умножим $6$ на $- 5$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ - 5 \cdot - 16) + 0 + 0$

Этап 1.5.5.5.3.2

Умножим $- 5$ на $- 16$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80) + 0 + 0$

Этап 1.5.6

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1

Объединим противоположные члены в $(- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80) + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1.1

Добавим $(- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$ и $0$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80) + 0$

Этап 1.5.6.1.2

Добавим $(- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$ и $0$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.2.1

Развернем $(- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = - 3 (- λ^{3}) - 3 (- 9 λ^{2}) - 3 (- 2 λ) - 3 \cdot 48 - λ (- λ^{3}) - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$p (λ) = 3 λ^{3} - 3 (- 9 λ^{2}) - 3 (- 2 λ) - 3 \cdot 48 - λ (- λ^{3}) - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.2.2

Умножим $- 9$ на $- 3$ .

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} - 3 (- 2 λ) - 3 \cdot 48 - λ (- λ^{3}) - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.2.3

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 3 \cdot 48 - λ (- λ^{3}) - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.2.4

Умножим $- 3$ на $48$ .

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 - λ (- λ^{3}) - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.2.6

Умножим $λ$ на $λ^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.2.2.6.1

Перенесем $λ^{3}$ .

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.2.6.2

Умножим $λ^{3}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.2.2.6.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.2.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.2.6.3

Добавим $3$ и $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.2.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + 1 λ^{4} - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.2.8

Умножим $λ^{4}$ на $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.2.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} - 1 \cdot - 9 λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.2.10

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.2.2.10.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} - 1 \cdot - 9 (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.2.10.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.2.2.10.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} - 1 \cdot - 9 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.2.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} - 1 \cdot - 9 λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.2.10.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} - 1 \cdot - 9 λ^{3} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.2.11

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} + 9 λ^{3} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.2.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} + 9 λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.2.13

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.2.2.13.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} + 9 λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.2.13.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} + 9 λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2} - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.2.14

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} + 9 λ^{3} + 2 λ^{2} - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.2.15

Умножим $48$ на $- 1$ .

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} + 9 λ^{3} + 2 λ^{2} - 48 λ + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.3

Добавим $3 λ^{3}$ и $9 λ^{3}$ .

$p (λ) = 12 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} + 2 λ^{2} - 48 λ + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.4

Добавим $27 λ^{2}$ и $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = 12 λ^{3} + 29 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} - 48 λ + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.5

Вычтем $48 λ$ из $6 λ$ .

$p (λ) = 12 λ^{3} + 29 λ^{2} - 42 λ - 144 + λ^{4} + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

Этап 1.5.6.2.6

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 12 λ^{3} + 29 λ^{2} - 42 λ - 144 + λ^{4} + 5 (- 5 λ^{2}) + 5 (- 30 λ) + 5 \cdot 80$

Этап 1.5.6.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.2.7.1

Умножим $- 5$ на $5$ .

$p (λ) = 12 λ^{3} + 29 λ^{2} - 42 λ - 144 + λ^{4} - 25 λ^{2} + 5 (- 30 λ) + 5 \cdot 80$

Этап 1.5.6.2.7.2

Умножим $- 30$ на $5$ .

$p (λ) = 12 λ^{3} + 29 λ^{2} - 42 λ - 144 + λ^{4} - 25 λ^{2} - 150 λ + 5 \cdot 80$

Этап 1.5.6.2.7.3

Умножим $5$ на $80$ .

$p (λ) = 12 λ^{3} + 29 λ^{2} - 42 λ - 144 + λ^{4} - 25 λ^{2} - 150 λ + 400$

Этап 1.5.6.3

Вычтем $25 λ^{2}$ из $29 λ^{2}$ .

$p (λ) = 12 λ^{3} + 4 λ^{2} - 42 λ - 144 + λ^{4} - 150 λ + 400$

Этап 1.5.6.4

Вычтем $150 λ$ из $- 42 λ$ .

$p (λ) = 12 λ^{3} + 4 λ^{2} - 192 λ - 144 + λ^{4} + 400$

Этап 1.5.6.5

Добавим $- 144$ и $400$ .

$p (λ) = 12 λ^{3} + 4 λ^{2} - 192 λ + λ^{4} + 256$

Этап 1.5.6.6

Перенесем $- 192 λ$ .

$p (λ) = 12 λ^{3} + 4 λ^{2} + λ^{4} - 192 λ + 256$

Этап 1.5.6.7

Перенесем $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = 12 λ^{3} + λ^{4} + 4 λ^{2} - 192 λ + 256$

Этап 1.5.6.8

Изменим порядок $12 λ^{3}$ и $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} + 12 λ^{3} + 4 λ^{2} - 192 λ + 256$

Этап 1.6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$λ^{4} + 12 λ^{3} + 4 λ^{2} - 192 λ + 256 = 0$

Этап 1.7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Разложим $λ^{4} + 12 λ^{3} + 4 λ^{2} - 192 λ + 256$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 256, \pm 2, \pm 128, \pm 4, \pm 64, \pm 8, \pm 32, \pm 16$

$q = \pm 1$

Этап 1.7.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 256, \pm 2, \pm 128, \pm 4, \pm 64, \pm 8, \pm 32, \pm 16$

Этап 1.7.1.1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{4} + 12 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2^{2} - 192 \cdot 2 + 256$

Этап 1.7.1.1.3.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 + 12 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2^{2} - 192 \cdot 2 + 256$

Этап 1.7.1.1.3.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$16 + 12 \cdot 8 + 4 \cdot 2^{2} - 192 \cdot 2 + 256$

Этап 1.7.1.1.3.4

Умножим $12$ на $8$ .

$16 + 96 + 4 \cdot 2^{2} - 192 \cdot 2 + 256$

Этап 1.7.1.1.3.5

Добавим $16$ и $96$ .

$112 + 4 \cdot 2^{2} - 192 \cdot 2 + 256$

Этап 1.7.1.1.3.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$112 + 4 \cdot 4 - 192 \cdot 2 + 256$

Этап 1.7.1.1.3.7

Умножим $4$ на $4$ .

$112 + 16 - 192 \cdot 2 + 256$

Этап 1.7.1.1.3.8

Добавим $112$ и $16$ .

$128 - 192 \cdot 2 + 256$

Этап 1.7.1.1.3.9

Умножим $- 192$ на $2$ .

$128 - 384 + 256$

Этап 1.7.1.1.3.10

Вычтем $384$ из $128$ .

$- 256 + 256$

Этап 1.7.1.1.3.11

Добавим $- 256$ и $256$ .

$0$

Этап 1.7.1.1.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $λ - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{λ^{4} + 12 λ^{3} + 4 λ^{2} - 192 λ + 256}{λ - 2}$

Этап 1.7.1.1.5

Разделим $λ^{4} + 12 λ^{3} + 4 λ^{2} - 192 λ + 256$ на $λ - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

Этап 1.7.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $λ^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

Этап 1.7.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

Этап 1.7.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $λ^{4} - 2 λ^{3}$ .

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

Этап 1.7.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

Этап 1.7.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

Этап 1.7.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $14 λ^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

Этап 1.7.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

Этап 1.7.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $14 λ^{3} - 28 λ^{2}$ .

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

Этап 1.7.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

Этап 1.7.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$192 λ$

Этап 1.7.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $32 λ^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$32 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$192 λ$

Этап 1.7.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$32 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$192 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

Этап 1.7.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $32 λ^{2} - 64 λ$ .

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$32 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$192 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

Этап 1.7.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$32 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$192 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

$128 λ$

Этап 1.7.1.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$32 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$192 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

$128 λ$

$256$

Этап 1.7.1.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 128 λ$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$32 λ$

$128$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$192 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

$128 λ$

$256$

Этап 1.7.1.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$32 λ$

$128$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$192 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

$128 λ$

$256$

$128 λ$

$256$

Этап 1.7.1.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 128 λ + 256$ .

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$32 λ$

$128$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$192 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

$128 λ$

$256$

$128 λ$

$256$

Этап 1.7.1.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$32 λ$

$128$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$192 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

$128 λ$

$256$

$128 λ$

$256$

$0$

Этап 1.7.1.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$λ^{3} + 14 λ^{2} + 32 λ - 128$

Этап 1.7.1.1.6

Запишем $λ^{4} + 12 λ^{3} + 4 λ^{2} - 192 λ + 256$ в виде набора множителей.

$(λ - 2) (λ^{3} + 14 λ^{2} + 32 λ - 128) = 0$

Этап 1.7.1.2

Разложим $λ^{3} + 14 λ^{2} + 32 λ - 128$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1

$p = \pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1$

Этап 1.7.1.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

Этап 1.7.1.2.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{3} + 14 \cdot 2^{2} + 32 \cdot 2 - 128$

Этап 1.7.1.2.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 + 14 \cdot 2^{2} + 32 \cdot 2 - 128$

Этап 1.7.1.2.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 + 14 \cdot 4 + 32 \cdot 2 - 128$

Этап 1.7.1.2.3.4

Умножим $14$ на $4$ .

$8 + 56 + 32 \cdot 2 - 128$

Этап 1.7.1.2.3.5

Добавим $8$ и $56$ .

$64 + 32 \cdot 2 - 128$

Этап 1.7.1.2.3.6

Умножим $32$ на $2$ .

$64 + 64 - 128$

Этап 1.7.1.2.3.7

Добавим $64$ и $64$ .

$128 - 128$

Этап 1.7.1.2.3.8

Вычтем $128$ из $128$ .

$0$

Этап 1.7.1.2.4

$\frac{λ^{3} + 14 λ^{2} + 32 λ - 128}{λ - 2}$

Этап 1.7.1.2.5

Разделим $λ^{3} + 14 λ^{2} + 32 λ - 128$ на $λ - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.5.1

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$32 λ$

$128$

Этап 1.7.1.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $λ^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$

Этап 1.7.1.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

Этап 1.7.1.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $λ^{3} - 2 λ^{2}$ .

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

Этап 1.7.1.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$16 λ^{2}$

Этап 1.7.1.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$

Этап 1.7.1.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $16 λ^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$16 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$

Этап 1.7.1.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$	+	$16 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$32 λ$

Этап 1.7.1.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $16 λ^{2} - 32 λ$ .

				$λ^{2}$	+	$16 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
					-	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$

Этап 1.7.1.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$	+	$16 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
					-	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
							+	$64 λ$

Этап 1.7.1.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$λ^{2}$	+	$16 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
					-	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
							+	$64 λ$	-	$128$

Этап 1.7.1.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $64 λ$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$16 λ$	+	$64$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
					-	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
							+	$64 λ$	-	$128$

Этап 1.7.1.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$	+	$16 λ$	+	$64$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
					-	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
							+	$64 λ$	-	$128$
							+	$64 λ$	-	$128$

Этап 1.7.1.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $64 λ - 128$ .

				$λ^{2}$	+	$16 λ$	+	$64$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
					-	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
							+	$64 λ$	-	$128$
							-	$64 λ$	+	$128$

Этап 1.7.1.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$	+	$16 λ$	+	$64$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
					-	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
							+	$64 λ$	-	$128$
							-	$64 λ$	+	$128$
										$0$

Этап 1.7.1.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$λ^{2} + 16 λ + 64$

Этап 1.7.1.2.6

Запишем $λ^{3} + 14 λ^{2} + 32 λ - 128$ в виде набора множителей.

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ^{2} + 16 λ + 64)) = 0$

Этап 1.7.1.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.3.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.3.1.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ^{2} + 16 λ + 8^{2})) = 0$

Этап 1.7.1.3.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$16 λ = 2 \cdot λ \cdot 8$

Этап 1.7.1.3.1.3

Перепишем многочлен.

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ^{2} + 2 \cdot λ \cdot 8 + 8^{2})) = 0$

Этап 1.7.1.3.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = λ$ и $b = 8$ .

$(λ - 2) ((λ - 2) {(λ + 8)}^{2}) = 0$

Этап 1.7.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(λ - 2) (λ - 2) {(λ + 8)}^{2} = 0$

Этап 1.7.1.4

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.4.1

Возведем $λ - 2$ в степень $1$ .

$(λ - 2) (λ - 2) {(λ + 8)}^{2} = 0$

Этап 1.7.1.4.2

Возведем $λ - 2$ в степень $1$ .

$(λ - 2) (λ - 2) {(λ + 8)}^{2} = 0$

Этап 1.7.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(λ - 2)}^{1 + 1} {(λ + 8)}^{2} = 0$

Этап 1.7.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(λ - 2)}^{2} {(λ + 8)}^{2} = 0$

Этап 1.7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(λ - 2)}^{2} = 0$

${(λ + 8)}^{2} = 0$

Этап 1.7.3

Приравняем ${(λ - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Приравняем ${(λ - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(λ - 2)}^{2} = 0$

Этап 1.7.3.2

Решим ${(λ - 2)}^{2} = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.2.1

Приравняем $λ - 2$ к $0$ .

$λ - 2 = 0$

Этап 1.7.3.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$λ = 2$

Этап 1.7.4

Приравняем ${(λ + 8)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Приравняем ${(λ + 8)}^{2}$ к $0$ .

${(λ + 8)}^{2} = 0$

Этап 1.7.4.2

Решим ${(λ + 8)}^{2} = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.1

Приравняем $λ + 8$ к $0$ .

$λ + 8 = 0$

Этап 1.7.4.2.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$λ = - 8$

Этап 1.7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(λ - 2)}^{2} {(λ + 8)}^{2} = 0$ верно.

$λ = 2, - 8$

Этап 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

Этап 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $- 2$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.3

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.4

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.5

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.7

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.8

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.9

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.10

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.11

Умножим $- 2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.12

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.13

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.14

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.15

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.16

Умножим $- 2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

Этап 3.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} - 3 - 2 & - 5 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 3 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - 2 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 3 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - 2 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3.2

Добавим $- 5$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 3 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - 2 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 3 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - 2 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 + 0 & - 3 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - 2 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3.5

Добавим $- 5$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - 2 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3.6

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - 2 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3.7

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - 2 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3.8

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - 2 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3.9

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & - 3 - 2 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3.10

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 - 2 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3.11

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3.12

Добавим $- 5$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3.13

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 \\ 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3.14

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3.15

Добавим $- 5$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 - 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3.16

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 \end{array}]$

Этап 3.3

Find the null space when $λ = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 5 + 5 \cdot 1 & - 5 + 5 \cdot 1 & 0 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 5 R_{2}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 5 R_{2}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & - 5 + 5 \cdot 1 & 0 + 5 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.5.2

Упростим $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} + x_{2} = 0$

$x_{3} + x_{4} = 0$

$0 = 0$

Этап 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} - x_{2} \\ x_{2} \\ - x_{4} \\ x_{4} \end{array}]$

Этап 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

Этап 3.3.6

Write as a solution set.

${x_{2} [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | x_{2}, x_{4} \in R}$

Этап 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + 8 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $8$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим $8$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.3

Умножим $8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.4

Умножим $8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.5

Умножим $8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.6

Умножим $8$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.7

Умножим $8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.8

Умножим $8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.9

Умножим $8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.10

Умножим $8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.11

Умножим $8$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.12

Умножим $8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.13

Умножим $8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.14

Умножим $8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.15

Умножим $8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.16

Умножим $8$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} - 3 + 8 & - 5 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 3 + 8 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 + 8 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Добавим $- 3$ и $8$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 3 + 8 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 + 8 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3.2

Добавим $- 5$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 3 + 8 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 + 8 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 3 + 8 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 + 8 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 + 0 & - 3 + 8 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 + 8 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3.5

Добавим $- 5$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 + 8 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 + 8 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3.6

Добавим $- 3$ и $8$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 + 8 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3.7

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 + 8 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3.8

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 + 8 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3.9

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & - 3 + 8 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3.10

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 + 8 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3.11

Добавим $- 3$ и $8$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3.12

Добавим $- 5$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3.13

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 \\ 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3.14

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3.15

Добавим $- 5$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 + 8 \end{array}]$

Этап 4.2.3.16

Добавим $- 3$ и $8$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & 5 \end{array}]$

Этап 4.3

Find the null space when $λ = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & 5 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{- 5}{5} & \frac{0}{5} & \frac{0}{5} & \frac{0}{5} \\ - 5 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & 5 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & 5 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 5 + 5 \cdot 1 & 5 + 5 \cdot - 1 & 0 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & 5 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & 5 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & 5 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{- 5}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & 5 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & 5 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 5 R_{2}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 5 R_{2}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & 5 + 5 \cdot - 1 & 0 + 5 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.5.2

Упростим $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} - x_{2} = 0$

$x_{3} - x_{4} = 0$

$0 = 0$

Этап 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} x_{2} \\ x_{2} \\ x_{4} \\ x_{4} \end{array}]$

Этап 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Этап 4.3.6

Write as a solution set.

${x_{2} [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | x_{2}, x_{4} \in R}$

Этап 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$